使用分而治之算法的最大子数组总和

在处理具有线性结构的问题时，最大子数组问题（maximum subarray problem）是一种经典问题。最大子数组问题是要在给定的数组中找到连续的一段子数组，使该子数组中所有元素的和最大。这个问题可以通过分而治之算法（divide and conquer algorithm）来解决。

分而治之算法

分而治之算法是一种算法思想，它将问题分解为若干个子问题，然后对子问题进行求解，最后将子问题的解合并成原问题的解。

在最大子数组问题中，分而治之算法的思路是将数组分为左半部分、右半部分和跨越中点的部分。然后分别求解左半部分、右半部分和跨越中点的部分的最大子数组和，三者中的最大值即为所求的最大子数组和。要求跨越中点的部分最大子数组和时，可以从中点往左和往右分别扫描，求出跨越中点的左部分、右部分以及左右部分的和，然后将它们相加即可。

代码实现

下面是使用分而治之算法解决最大子数组问题的 Python 代码实现：

def max_crossing_subarray(arr, low, mid, high):
    left_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid, low-1, -1):
        sum += arr[i]
        if sum > left_sum:
            left_sum = sum
    
    right_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid+1, high+1):
        sum += arr[i]
        if sum > right_sum:
            right_sum = sum
    
    return left_sum + right_sum
    
def max_subarray(arr, low, high):
    if low == high:
        return arr[low]
    
    mid = (low + high) // 2
    
    left_sum = max_subarray(arr, low, mid)
    right_sum = max_subarray(arr, mid+1, high)
    cross_sum = max_crossing_subarray(arr, low, mid, high)
    
    return max(left_sum, right_sum, cross_sum)

使用上述代码可以求得一个数组中的最大子数组和，例如以下代码可以求得数组 arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] 的最大子数组和：

max_sum = max_subarray(arr, 0, len(arr)-1)
print(f"最大子数组和是 {max_sum}")

运行结果是：

最大子数组和是 6

性能分析

使用分而治之算法求解最大子数组和的时间复杂度是 Θ(n log n)。这是因为每次递归都将数组长度缩小一半，直到长度为 1 时停止递归，这样总共会进行 log n 次递归；而在每次递归中，查找跨越中点的最大子数组和需要进行线性扫描，因此复杂度为 n。因此总复杂度就是 n log n。