总和可被 m 整除的子集数

简介

给定一个正整数数组 nums 和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子序列。

设计一个算法使得这 m 个子序列各自的元素和能够被 m 整除。

返回 true，否则返回 false。

解法

思路

本题考察的是动态规划。

假设我们已知了 $nums[:i]$ 中总和可被 $m$ 整除的子集数量 $dp[i]$，想要计算 $dp[i+1]$，可以考虑将 $nums[:i]$ 中的任意一个子集 $s$ 拓展成 $s + nums[i+1]$，然后更新 $dp[i+1]$：

$$dp[i+1] = \sum_{j=0}^{m-1} dp_copy[j]$$

其中 $dp_copy$ 是临时数组，记录了由 $dp[i]$ 拓展得到的，总和对 $m$ 取余为 $j$ 的子集数量之和。需要注意的是，如果 $s + nums[i+1]$ 的和大于 $m$，则同余类会有重复，需要进行去重操作。

代码

def splitArray(nums, m):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp_copy = [0] * m

    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = dp[i-1] + nums[i]

    for k in range(2, m+1):
        for i in range(k-1, n):
            dp_copy[dp[i-1]%m] = dp_copy[dp[i-1]%m] + 1
            for j in range(m):
                if dp[i] % m == j:
                    dp_copy[j] = dp_copy[j] + 1
            dp[i] = dp_copy[0] 
            for j in range(1, m):
                dp[i] = dp[i] + dp_copy[j]
            dp_copy = [0] * m

    return dp[-1] % m == 0

总结

本题考察的是动态规划的思想，需要注意同余类的重复计算问题。