大小为n且总元素和可被3整除的子集的计数

这个问题可以使用动态规划来解决。设 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个元素中选出的数的总和模 $3$ 余 $j$ 的方案数，则转移方程为：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][ (j-a_i+3) % 3] $$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个元素的值。解释一下，对于第 $i$ 个元素，它有两种选择，选或不选。如果不选，则方案数为 $dp[i-1][j]$，表示在前 $i-1$ 个元素中选数总和模 $3$ 余 $j$ 的方案数，此时第 $i$ 个元素不会对总和模 $3$ 的余数产生影响。如果选择第 $i$ 个元素，则方案数为 $dp[i-1][(j-a_i+3) % 3]$，表示在前 $i-1$ 个元素中选数总和模 $3$ 余 $j-a_i$ 的方案数，加上第 $i$ 个元素后模 $3$ 的余数恰为 $j$。

最终答案即为 $dp[n][0]$，表示在前 $n$ 个元素中选出的数的总和模 $3$ 余 $0$ 的方案数。

代码实现

def count_subsets(n, a):
    # 初始化dp数组
    dp = [[0] * 3 for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    # 循环计算dp数组
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(3):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-a[i-1]+3)%3]
    # 返回答案
    return dp[n][0]

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，需要循环 $n$ 次计算 $dp$ 数组。

空间复杂度：$O(n)$，需要存储 $dp$ 数组。