总和可被M整除的子集数套装2

这是一道经典的动态规划问题。给定一个整数数组nums和一个整数M，求有多少个子集的元素之和可以被M整除。

问题描述

给定一个长度为n的整数数组nums和一个整数M, 求有多少个子集的元素之和可以被M整除。可以认为n和M都是正整数。

例如，对于数组[1,2,3]和M=2，有三个子集[2], [1,3], [1,2,3]的元素之和可被2整除。

注意，子集可以为空，因此空集也是一个合法的子集。

解决方案

我们可以用动态规划来解决这个问题。首先，我们定义一个二维的动态规划状态dp[i][j]，表示前i个元素中有多少个子集的元素之和可以被M余数为j。

显然，dp[0][0]=1，因为前0个元素中有一个子集，它的元素之和是0，且0可以被任何数整除。其余的状态初始值为0。

接下来我们枚举第i个元素nums[i]，考虑它对状态转移的影响。我们可以将它加入某个子集中，或者不加入任何子集。

对于加入某个子集的情况，我们需要枚举之前所有的状态，并且将它们加上nums[i]，看看是否可以被M整除。假设之前的状态为dp[i-1][j]，那么加入nums[i]后的状态为dp[i][(j+nums[i])%M]，即余数为(j+nums[i])%M的状态。

对于不加入任何子集的情况，我们可以直接将之前的状态dp[i-1][j]转移过来。

因此，状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-nums[i]%M+M)%M];

最终答案为所有满足余数为0的状态之和，即dp[n][0]。

我们可以使用以下代码实现上述算法：

def subsetsDivByM(nums, M):
    dp = [[0] * M for _ in range(len(nums) + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, len(nums) + 1):
        for j in range(M):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-nums[i-1]%M+M)%M];
    return dp[len(nums)][0]

总结

本文介绍了总和可被M整除的子集数套装2问题的解决方案。该问题可以用动态规划解决，需要定义一个二维的状态dp[i][j]表示前i个元素中有多少个子集的元素之和可以被M余数为j。可以通过枚举nums[i]的加入或不加入两种情况来更新状态。最终的答案为dp[n][0]。