门 | GATE-CS-2015（套装1）|问题 16

这是一道关于递归的问题。

问题描述

给定一个数组 $A$，包含 $n$ 个整数，和一个整数 $k$。我们定义一个子序列 $S$ 为：$S$ 中至少包含一个数字，对于 $S$ 中的任意两个不同位置的整数 $i$ 和 $j$，它们满足 $|i-j| \neq k$。也就是，$S$ 中的任意两个不同位置的整数之间的距离不等于 $k$。请问，$A$ 中最长的子序列 $S$ 的长度是多少。

解题思路

这道题要求的子序列具有一定的限制条件，但是它仍然是一个比较基本的动态规划问题。我们可以考虑使用递归来求解。

我们可以定义一个函数 $f(i)$，表示在以第 $i$ 个数结尾的子序列中，不含有与上一个数相距 $k$ 的数字的最大长度。显然，最终答案就是 $f(i)$ 中的最大值。

同时，我们可以发现 $f(i)$ 可以由 $f(j)$ 推出，其中 $j$ 是满足 $i-k-1<=j<=i-1$ 且 $A_i$ 与 $A_j$ 之间没有其他数字的位置。

具体来说，我们可以设 $s_1, s_2, ..., s_m$ 是以第 $i$ 个数字结尾的满足条件的子序列。那么 $f(i)$ 就可以表示为：

$$ f(i) = max{ f(j) } + 1 , \quad A_i \ne A_j \quad and \quad |i-j| \ne k $$

注意，初始条件是 $f(0) = 0$。另外，由于我们需要比较所有 $f(j)$ 取最大的值，因此在递归的过程中需要遍历之前的所有位置 $j$。

代码实现

def max_subsequence(A, k):

    def helper(pos):
        if pos == 0:
            return 0
        max_len = 0
        for j in range(pos-k-1, pos-1):
            if j >= 0 and A[pos] != A[j]:
                max_len = max(max_len, helper(j))
        return max_len + 1

    max_sub = 0
    for i in range(len(A)):
        max_sub = max(max_sub, helper(i))
    return max_sub

复杂度分析

由于递归的过程中需要遍历所有的位置 $j$，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。空间复杂度也是 $O(n^2)$，因为需要记录每个 $f(i)$ 的值。不过，由于可以使用记忆化搜索减少重复计算，实际运行时间可能小于 $O(n^2)$。