门| GATE-CS-2015（套装1）|问题 10

该题目是关于寻找最长的回文子序列的问题，回文子序列是指一个字符串正着读和反着读都是一样的序列。

算法思路

一个朴素的解法是对于每一个子串，从两端开始比较，如果相等，则添加到回文子序列中，直到串首和串尾相遇。

但是该算法的时间复杂度较高，为 $O(n^3)$。因此，可以采用动态规划的方法来降低时间复杂度。

定义 $P(i,j)$ 表示字符串 $S_i,\ldots,S_j$ 的最长回文子序列的长度，则：

1. 当 $i=j$ 时，$P(i,j)=1$。
2. 当 $S_i=S_j$ 时，$P(i,j)=P(i+1,j-1)+2$。
3. 当 $S_i\neq S_j$ 时，$P(i,j)=\max(P(i+1,j),P(i,j-1))$。

通过计算从小到大的所有 $P(i,j)$ 值，可以求出整个字符串的最长回文子序列。

代码实现

下面是基于动态规划的求解最长回文子序列的 Python 代码实现：

def longest_palindrome_subsequence(S):
    n = len(S)
    # 初始化 P(i,i) 的值为 1
    P = [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            if S[i] == S[j]:
                # 根据递推式求出 P(i,j)
                P[i][j] = P[i + 1][j - 1] + 2
            else:
                P[i][j] = max(P[i + 1][j], P[i][j - 1])
    return P[0][n - 1]

该函数接受一个字符串作为参数，并返回该字符串的最长回文子序列的长度。

总结

本题考察了动态规划的思想和实现能力，以及对字符串相关算法的理解和掌握。动态规划可以用来解决很多问题，可以根据问题特点设计出相应的递推式，来求解问题的最优解。在应用中需要注意时间和空间复杂度的问题。