门| GATE-CS-2016（套装1）|问题 16

该问题涉及图论算法，需要对图进行染色。染色是指给定一个无向图，我们需要为每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。如果该图可以被染色，则称该图是可染色的。这个问题在许多实际应用场景中都有着重要意义，例如网络路由，图像处理等领域中都需要用到染色算法。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）算法来实现这个染色过程。DFS算法将从一开始的任意节点开始遍历整张图，将每个节点的颜色设置为1或者2，如果相邻顶点已经拥有相同的颜色，那么我们就需要回溯并重新涂色，直到所有节点都被涂上颜色或者所有涂色方案都不可实现为止。

下面是对应的Python代码片段：

#定义图
graph = {'A': set(['B', 'C']),
         'B': set(['A', 'D', 'E']),
         'C': set(['A', 'F']),
         'D': set(['B']),
         'E': set(['B', 'F']),
         'F': set(['C', 'E'])}

# 定义访问过的节点集合
visited = set()

# 定义节点颜色
color = {}

# DFS遍历图，并为每个点涂色
def dfs(vertex, c):
    visited.add(vertex)
    color[vertex] = c
    for neighbor in graph[vertex]:
        if neighbor not in visited:
            dfs(neighbor, 3 - c)
        elif color[neighbor] == c:
            print("The graph is NOT Bipartite")
            return

# 尝试为每个未被访问的节点开始遍历图
for vertex in graph:
    if vertex not in visited:
        dfs(vertex, 1)

print("The graph is Bipartite")

在上述Python代码中，变量graph指存储了无向图的字典，其中每个键都代表一个顶点，而值则代表相邻的所有顶点。变量visited是一个集合，存储了访问过的节点。变量color也是一个字典，其中每个键代表一个顶点，而值则代表其对应的颜色。变量dfs()是深度优先搜索函数，首先将给定的节点涂上特定的颜色c，然后访问所有相邻节点并将其涂上与之不同的颜色（即3 - c）。如果遇到已被访问过的节点，且与之颜色相同，则可以确定此时该无向图是不可染色的，应该结束程序并返回结果。

以上Python代码中的Bipartite表示是二分图，如果这个图是二分图，那么我们就得出了染色方案。如果不是，则返回无法染色的结果。总之，通过Python代码实现图染色算法，可以帮助我们更好地了解深度优先搜索算法在解决图论问题中的应用。