门| GATE-CS-2016（套装2）|问题 16

这是一道关于图的最短路径算法的题目。在这道问题中，我们需要实现Dijkstra算法，并使用它来解决一些图的最短路径问题。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求图中从一个节点到另一个节点的最短路径。它可以处理有向图或无向图，但不能处理带负权值的边。Dijkstra算法通过在图中进行广度优先搜索来找到最短路径。下面是Dijkstra算法的伪代码：

1. 从起点开始，将所有顶点的距离值初始化为无穷大，将起点的距离值初始化为0。
2. 将起点添加到优先队列中。
3. 从优先队列中取出距离值最小的顶点v。
4. 遍历v的所有邻居w，计算v到w的距离d。如果d小于w当前的距离值，则更新w的距离值为d，并将w添加到优先队列中。
5. 重复步骤3和4，直到优先队列为空。

代码

下面是一个使用Dijkstra算法来解决最短路径问题的示例代码：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    distances = {vertex: float('inf') for vertex in graph}
    distances[start] = 0
    pq = [(0, start)]
    while pq:
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(pq)
        if current_distance > distances[current_vertex]:
            continue
        for neighbor, weight in graph[current_vertex].items():
            distance = current_distance + weight
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(pq, (distance, neighbor))
    return distances

graph = {
    'A': {'B': 1, 'C': 4},
    'B': {'A': 1, 'C': 2, 'D': 5},
    'C': {'A': 4, 'B': 2, 'D': 1},
    'D': {'B': 5, 'C': 1}
}

print(dijkstra(graph, 'A'))

在上面的示例中，我们定义了一个图，并使用Dijkstra算法来找到从节点A到其他节点的最短路径。最后打印出了所有节点的最短路径。

总结

Dijkstra算法是一种用于图的最短路径问题的贪心算法。它通过在图中进行广度优先搜索来找到最短路径。虽然它不能处理带负权值的边，但是它是求解大多数最短路径问题的常用算法之一。