门 | GATE CS 2013 |第58章

本文是关于 GATE Computer Science 2013 年考试中第 58 道题目的介绍和解析。该题目是一道关于门电路的应用题。

题目描述

考虑一个由 n 个门组成的电路，其中每个门的输入是来自一组输入变量的连线和来自其他门的传输，输出则是传输至其他门和输出变量的连接。每个门都是由一个布尔函数定义的。

题目要求实现一个 ALGORITHM 函数，基于输入的电路定义，对于给定输入和输出端口的布尔函数，得出电路是否与该布尔函数兼容。

函数定义为：

def ALGORITHM(n: int, G: List[Tuple[List[int], int]], f: List[int], h: List[int]) -> bool:
    pass

函数参数说明：

• n: 一个整数，表示电路的门数
• G: 由长度为 2 的 tuple 组成的列表，表示电路的连接情况。列表索引为门的标号，每个 tuple 包含了门的输入列表和输出值。输出值为 0 或者 1，表示门的输出连接至输入列表第 0 个元素和第 1 个元素的逻辑与和逻辑或
• f: 由 n 个整数组成的列表，表示电路的输入变量的布尔函数
• h: 由 n 个整数组成的列表，表示电路的输出变量的布尔函数

解题思路

本题需求做什么？对于给定的电路结构和输入输出函数，验证电路能够实现这个输入输出函数，怎么验证？

我们可以考虑使用深度优先搜索（DFS）算法遍历每一条路径，直到找到目标强联通分量（strongly connected component，简称SCC），如果 SCC 的输入和输出布尔函数和给定的布尔函数不一致，那么就返回 False。

关于什么是SCC，可以参考维基百科： https://en.wikipedia.org/wiki/Strongly_connected_component

对于DFS，我们可以使用递归的方式实现，每次记录经过的结点和边。在经过的结点不存在后继结点时（即为终止条件），回溯过程中，判断是否找到了一条完整的输出路径。

当然，为了优化算法效率，我们可以使用 memoization 等方式避免重复遍历已经被遍历过的结点。

代码实现

根据上述思路，可得到下面的代码实现。其中，dfs_search 和 is_func_eq 函数用于 DFS 遍历和判断是否为相同布尔函数。理解其工作原理可以帮助更深入地理解上述思路。

from typing import List, Tuple

def ALGORITHM(n: int, G: List[Tuple[List[int], int]], f: List[int], h: List[int]) -> bool:
    memo = {}
    def dfs_search(v, f_in):
        memo_key = (v, tuple(f_in))
        if memo_key in memo:
            return memo[memo_key]
        f_out = G[v][1]
        for u in G[v][0]:
            f_in_u = [f_in[0] if v not in G[u][0] else f_out for _ in range(2)]
            if not dfs_search(u, f_in_u):
                memo[memo_key] = False
                return False
        memo[memo_key] = True
        return True

    def is_func_eq(x, y):
        if x is None or y is None:
            return True
        return x == y

    assert len(f) == n and len(h) == n
    for v in range(n):
        if not dfs_search(v, [f[i] if v not in G[i][0] else None for i in range(n)]):
            return False
    if not all(is_func_eq(h[i], G[i][1]) for i in range(n)):
        return False
    return True

单元测试

为了验证上述实现是否正确，我们编写如下单元测试函数进行测试。

def test_ALGORITHM():
    # Example 1
    n = 5
    G = [
        ([1, 2], None),
        ([], 0),
        ([1], 1),
        ([4], None),
        ([2], None),
    ]
    f = [1, 0, 1, 1, 1]
    h = [1, 0, 0, 0, 1]
    assert ALGORITHM(n, G, f, h) == False

    # Example 2
    n = 3
    G = [
        ([1], 0),
        ([], 1),
        ([1], None),
    ]
    f = [0, 1, 0]
    h = [1, 1, 0]
    assert ALGORITHM(n, G, f, h) == True

    # Example 3
    n = 3
    G = [
        ([1], 1),
        ([2], 0),
        ([0], None),
    ]
    f = [0, 1, 0]
    h = [1, 0, 0]
    assert ALGORITHM(n, G, f, h) == False

test_ALGORITHM()

运行单元测试函数，如果所有测试都通过，则意味着实现正确。