门| GATE CS 2013 |问题1

二进制运算$\oplus$一组整数上的定义为x $\oplus$ y = x ² + y ² 。以下哪个陈述是正确的$\oplus$ ?
(A)可交换但不相关
(B)可交换和可关联
(C)关联但不互换
(D)不可交换也不可交换答案： (A)
解释：

关联性：

如果集合S上的二元运算*满足关联律，则被认为是关联的：

对于所有a，b，c∈S，a ∗(b ∗ c)=(a ∗ b)∗ c。

可交换性：

如果满足条件，则对集合S的二进制运算*被认为是可交换的：

对于所有a，b，∈S，a ∗ b = b ∗ a。

在这种情况下，元素组合的顺序无关紧要。

解决方案：

在这里，将一组整数的二进制运算定义为x⊕y = x2 + y2。
对于可交换性：x y = y x。

LHS => x⊕y= x ^ 2 + y ^ 2
RHS => y⊕x= y ^ 2 + x ^ 2
LHS = RHS。因此可交换。

对于关联性：x⊕(y⊕z)=(x y y)⊕z

LHS => x⊕(y⊕z)= x⊕(y ^ 2 + z ^ 2)= x ^ 2 +(y ^ 2 + z ^ 2)^ 2

RHS =>(x⊕y)⊕z=(x ^ 2 + y ^ 2)⊕z=(x ^ 2 + y ^ 2)^ 2 + z ^ 2

因此，LHS≠RHS，因此不具有关联性。

参考：
http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg3.pdf

该解决方案由Nitika Bansal提供

另一个解决方案：
$\oplus$交换为x $\oplus$ y总是和y相同$\oplus$ X。

$\oplus$与(x不相关$\oplus$ y) $\oplus$ z是(x ^ 2 + y ^ 2)^ 2 + z ^ 2，但是x $\oplus$ (y $\oplus$ z)是x ^ 2 +(y ^ 2 + z ^ 2)^ 2。这个问题的测验