门| GATE CS 2013 |问题4

这是一道在 GATE CS 2013 中出现过的编程题，是一道关于组合数学和递归算法的题目。下面为大家详细介绍这道题目的内容和解题思路。

题目描述

有两个门，共有 $n$ 个人要通过这两个门。第一个门只能容纳 $k$ 个人通过，第二个门没有限制。求最终有多少种通过这两个门的方案，假定这 $n$ 个人互不相同。

解题思路

由于总的通过方案数是由两部分组成的：

1. 第一个门的方案数；
2. 第一个门后的人员分布方案数(即第一个门后固定人员的顺序)；

那么我们可以分别计算这两个部分的方案数：

计算通过第一个门的方案数

通过第一个门的方案数就是从 $n$ 个人中选取 $k$ 个人的方案数，即 $C_{n}^{k}$，也可以用下面的公式计算：

$$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

计算第一个门后的人员分布方案数

第一个门后的人员分布方案数可以看作是对 $n-k$ 个人进行排列的方案数，因为这 $n-k$ 个人已经通过了第一个门，所以他们的顺序是固定的，即是 $P_{n-k}$。因此，

最终的通过方案数就是两部分的乘积:

$$C_{n}^{k} P_{n-k} = C_{n}^{k} (n-k)!$$

递归求解

在计算上述两个部分时，我们采用递归的算法。具体的，我们可以这样实现递归计算：

def count_ways(n, k):
    # 递归终止条件1
    if k == n:
        return 1
    # 递归终止条件2
    if k == 0:
        return 1
    # 递归式
    return count_ways(n-1, k) + count_ways(n-1, k-1) * (n-k)

这里我们假设有 n 个人要通过两个门，第一个门最多只能容纳 k 个人。当 k = n 时，所有人都通过了第一个门，直接返回 1。当 k = 0 时，没有人通过第一个门，也直接返回 1。对于一般情况，我们将问题拆分为两部分：

1. n 个人中的第一个人通过了第一个门，此时第一个门还剩下 k - 1 个人可容纳；
2. n 个人中的第一个人没有通过第一个门，此时第一个门还有 k 个人可容纳

将这两部分的方案数相加即可。

完整代码

下面为大家呈现完整的 Python 代码，供参考：

def count_ways(n, k):
    # 递归终止条件1
    if k == n:
        return 1
    # 递归终止条件2
    if k == 0:
        return 1
    # 递归式
    return count_ways(n-1, k) + count_ways(n-1, k-1) * (n-k)

总结

这道题目虽然是一道递归算法的题目，但关键在于对组合数学的理解。通过拆分问题，分别计算方案数，再将两个部分相乘，就可以得到最终的方案数。这是一道相对有难度的编程题目，但可以提供编程思维和递归算法的练习机会。