题目描述

门|门CS 2013 是一个有趣的逻辑推理题目，需要通过给定的条件和规则推导出一张能够表示所有门的平面图。本题为第58题，以下是题目描述：

假设有 $n$ 个门和 $n$ 个钥匙，编号分别为 $1,2,\cdots,n$。两者编号完全一致，每组钥匙只能开一扇门，每扇门只能用一把钥匙。所有的钥匙混在一起，门也没有特定的顺序，问：最少要开多少次门，才能将所有门都开了？

解题思路

本题可以使用数学归纳法或者递归的思路来解决。以下是其中一种可行的解题思路：

1. 当 $n=1$ 时，显然只需要开一次门，即可获取对应的一把钥匙。
2. 假设当 $n=k$ 时，最少需要开 $f(k)$次门才能开启所有的门。
3. 考虑当 $n=k+1$ 时，假设我们选择了其中一把钥匙和对应的门，那么需要开的门数就可以从 $f(k)$ 变为 $f(k)+1$。因为可以把这扇门和它对应的钥匙剔除，这样问题就转化为了 $n=k$ 的情况，可以使用归纳假设来解决。
4. 因此，我们可以得到递推式 $f(n)=f(n-1)+1$，其中 $f(1)=1$。

将递推式代入得出结果为：$f(n)=n$。因此，我们可以通过开 $n$ 次门，即可找到所有对应的钥匙。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码：

def min_steps(n):
    """
    计算开启所有门需要的最小步数
    """
    return n

print(min_steps(5))  # 输出 5

以上代码实现了上述递推式，并使用了一个简单的函数来计算需要的最小步数。