使用数组元素的 BST 总数介绍

使用数组元素的 BST 总数主要是指通过给定一个具有 n 个元素的数组，构造出所有可能的 BST（二叉搜索树）的总数。BST 是指满足以下条件的二叉树：

• 左子树中所有节点的值均小于根节点的值；
• 右子树中所有节点的值均大于根节点的值；
• 左子树和右子树本身也都是 BST。

由于一颗 BST 的左、右子树也均为 BST，所以我们可以使用递归的方式进行求解。

解题思路

假设当前数组长度为 n，我们可以取出其中一个元素 i，将其作为根节点，那么左子树中的所有节点一定比 i 小，右子树中的所有节点一定比 i 大。

设 f(n) 表示长度为 n 的数组，所能构造出的 BST 的总数，则有以下递归方程：

$$ f(n) = \sum_{i=1}^{n} f(i-1) \times f(n-i) $$

在递归求解的过程中，由于有很多重复的子问题，我们可以使用记忆化搜索或动态规划进行优化，减少重复计算。

代码实现

以下为使用 Python 实现动态规划的代码示例：

def num_trees(n: int) -> int:
    """
    动态规划求解 BST 总数。
    """
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
    return dp[n]

总结

BST 总数是一道比较典型的递归问题，通过对 BST 的定义和特性的深入理解，我们可以得出递归求解的式子，并通过动态规划的方式对其进行优化。相信不论是对于理解递归思想还是对于代码实现的熟练度，此题都是非常有帮助的。