导读

本文介绍的是GATE CS 2020第32题，该题目要求考生实现一个算法，用于计算一堆物品中能够组成的最大价值和，但是每种物品只能选择一次。本文将详细讲解该算法的思路、实现和时间复杂度等重要知识点，希望对您的学习和复习有所帮助。

问题描述

有一些物品，每件物品都有一个价值和一个重量。你有一个背包，它最多可以装载重量为W的物品。现在你需要选择一些物品，使得它们的总重量不超过背包的容量，但是总价值最大。请你计算这个最大总价值是多少。

注意：每件物品只能选择一次。

解题思路

本题可以使用动态规划的思想来解决，采用 0 / 1 背包的算法。具体方案如下：

1. 首先我们定义一个数组 dp，其中 dp[i][j] 表示当背包的容量为j时，前 i 件物品能装下的最大价值和。

2. 针对每一个物品，我们分类讨论它是否加入到背包中：

   • 如果不加入该物品，则 dp[i][j] 等于 dp[i-1][j]，即前 i-1个物品的最大价值和。

   • 如果加入该物品，则 dp[i][j] 等于 dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中 w[i] 和 v[i] 分别表示第 i 件物品的重量和价值。

3. 最后取 dp[n][W] 即为所有物品中能够组成的最大价值和。

整个过程的典型流程图如下所示：

代码实现

def knapsack(W, wt, val, n):
    # 定义 0/1 背包 DP 表
    dp = [[0 for x in range(W + 1)] for x in range(n + 1)]

    # 填充 DP 表
    for i in range(n + 1):
        for j in range(W + 1):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 0
            elif wt[i-1] <= j:
                dp[i][j] = max(val[i-1] + dp[i-1][j-wt[i-1]], dp[i-1][j])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    # 返回所有物品中能够组成的最大价值和
    return dp[n][W]

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(nW)，其中 n 为物品个数，W 为背包容量。由于 W 和 n 都很大，因此该算法的效率并不高，如果物品数量或者背包容量超过了一定的范围，会导致程序运行时间过长。因此，在实际应用中应该注意对算法强化和优化。