未加权和有向图中的最短路径数

在一个未加权和有向图中，最短路径指的是起点到终点之间由边连接的最少的路径。而最短路径数则是指从起点到终点的最短路径的条数。

在计算过程中，可以使用广度优先搜索（BFS）来找到最短路径，并使用动态规划的方法计算最短路径数。

广度优先搜索（BFS）

BFS是一种以层次化的顺序逐层扫描图结构的算法。从起点开始，先将其加入队列中。之后，对于队列中的节点，分别访问其相邻的节点，并将其加入队列中。这样一来，每个节点的访问顺序就可以按照其距离起点的距离递增的次序访问到。

在使用BFS来计算最短路径时，我们可以在遍历每一层节点时，将其相邻节点的距离信息存储到一个距离数组中。在遍历完成后，距离数组中存储的就是起点到每个节点的最短距离。

动态规划

在计算最短路径数时，我们可以使用动态规划的方法。具体来说，设$dp[n]$为起点到节点$n$的最短路径数。对于节点$n$，可以从其相邻节点中的最短路径中，选择路径最短的那一条，作为起点到节点$n$的最短路径的一部分。如果相邻节点的距离相等，则起点到节点$n$的最短路径数应该等于相邻节点的最短路径数的和。

这样一来，就可以通过递推，计算出所有节点的最短路径数。

代码实现

下面是一个使用Python实现的例子：

from collections import deque

def get_shortest_path_num(graph, start, end):
    distance = {n: float('inf') for n in graph}
    distance[start] = 0
    dp = {n: 0 for n in graph}
    dp[start] = 1
    
    queue = deque([start])
    while queue:
        node = queue.popleft()
        for neighbor in graph[node]:
            if distance[neighbor] == float('inf'):
                queue.append(neighbor)
            if distance[node] + 1 < distance[neighbor]:
                distance[neighbor] = distance[node] + 1
                dp[neighbor] = dp[node]
            elif distance[node] + 1 == distance[neighbor]:
                dp[neighbor] += dp[node]
    
    return dp[end]

其中，graph是一个字典类型的邻接表，start和end是起点和终点的节点。在函数中，首先初始化距离数组distance和动态规划数组dp。然后，将起点加入队列中，开始进行BFS遍历。在遍历的过程中，对于每个节点的相邻节点，判断是否需要更新距离，并根据最短路径的距离，更新动态规划数组。最后返回起点到终点的最短路径数即可。

参考资料

• Graph Theory - Shortest Paths