加权有向图中从节点1到N的不同最短路径的数量

在一个加权有向图中，节点之间不仅有连通关系，还有权值关系。不同的最短路径不仅指从节点1到节点N的距离最短，还要求路径不同。

解决方案

采用动态规划的思想，对每个节点维护一个数组 $dp_i$，表示从节点1到节点i的不同最短路径的数量。那么 $dp_N$ 表示从节点1到节点N的不同最短路径的数量，即为所求的答案。

对于一个节点i，可以从其前驱节点中选取一个节点 j，并且满足 $dis_i = dis_j + w_{j,i}$，其中 $dis_i$ 表示从节点1到节点i的最短距离，$w_{j,i}$ 表示从节点j到节点i的距离。那么 $dp_i$ 的值可以通过计算符合条件的前驱节点j的 $dp_j$ 之和得到，即$dp_i=\sum_{dis_j+ w_{j,i}=dis_i}dp_j$。

对于初始状态，$dp_1=1$，表示从节点1到节点1的不同最短路径数量为1。其他节点的最短路径数量可以通过上述公式计算得到。

代码实现

def count_shortest_paths(graph, n):
    # 初始化状态数组
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1

    # 动态规划
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i):
            if graph[j][i] != -1 and graph[j][i] + dp[j] == dp[i]:
                dp[i] += dp[j]

    return dp[n]

复杂度分析

该算法需要遍历每个节点和其前驱节点，时间复杂度为$O(n^2)$。空间复杂度为$O(n)$，需要维护状态数组。

应用场景

该算法可以用于求解从源节点到目的节点的不同最短路径数量，对于需要考虑路径不同的情况，可以采用该算法。