解题思路

根据三角函数的诱导公式： $$\csc{\theta}-\cot{\theta} = \frac{1}{\sin{\theta}}-\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}=2\cot{\frac{\theta}{2}}$$

将题目中的 $\csc{\theta-36^\circ}$ 用诱导公式拆分得到：

$$5\theta - 180^\circ - (\theta - 36^\circ) = 180^\circ$$

化简后得到：

$$\theta = 42^\circ$$

因为 $5\theta$ 是锐角，所以 $\theta$ 取值为 $8.4^\circ$。

代码实现

def calculate_theta():
    """
    计算 sec 5θ = csc (θ - 36°) 中的 θ。
    """
    theta = 42
    theta_rad = theta * math.pi / 180
    sec_5theta = 1 / math.cos(5 * theta_rad)
    csc_theta_36 = 1 / math.sin(theta_rad - 36 * math.pi / 180)
    
    while not math.isclose(sec_5theta, csc_theta_36):
        theta += 1
        theta_rad = theta * math.pi / 180
        sec_5theta = 1 / math.cos(5 * theta_rad)
        csc_theta_36 = 1 / math.sin(theta_rad - 36 * math.pi / 180)
    
    return f"θ = {theta}°"