如果 2y cos θ = x sin θ 和 2x sec θ – y csc θ = 3，则证明 x ² + 4y ² = 4

三角学是直角三角形的角和边之间的关系。在直角三角形中，有3个角，其中一个角是直角（90°），另外两个角是锐角，有3条边。与直角相对的一侧称为斜边。根据它们之间的角度，这些边之间有 6 个比率，它们被称为三角比。

6个三角比是：

• 正弦 (sin)
• 余弦 (cos)
• 切线（棕褐色）
• 割线 (cosec)
• 正割（秒）
• 余切 (cot)

直角三角形 ACB

正弦（sin）：

角的正弦由与角和斜边相反的边的长度之比定义。对于上面的三角形，∠A和∠B都给出了正弦角的值，正弦角的定义是垂线与斜边的比值。

$SinA = \frac{P}{H}= \frac{CB}{AB}$

$SinB = \frac{P}{H}= \frac{AC}{AB}$

余弦（cos）：

角的余弦由与角和斜边相邻的边的长度之比定义。对于上面的三角形，角cos的值对于∠A和∠B都给出，cos角的定义是底边与斜边的比值。

$CosA = \frac{B}{H}= \frac{AC}{AB}$

$CosB = \frac{B}{H}= \frac{CB}{AB}$

切线（tan）：

角的正切定义为与角相对的边与与角相邻的边的长度之比。对于上述三角形，∠A和∠B都给出了角tan的值，tan角的定义是垂线与其底的比值。

$TanA = \frac{P}{B}= \frac{CB}{AC}$

$TanB = \frac{P}{B}= \frac{AC}{CB}$

余割（cosec）：

角的余割由斜边的长度与角对边的比值定义。对于上述三角形，∠A 和∠B 都给出了角度 cosec 的值，cosec 角的定义是斜边与其垂线的比值。

$CosecA = \frac{H}{P}= \frac{AB}{CB}$

$CosecB = \frac{H}{P}= \frac{AB}{AC}$

割线（秒）：

角的割线由斜边的长度与与角相邻的边和边的比值定义。对于上述三角形，∠A 和∠B 都给出了角 sec 的值，sec 角的定义是斜边与其底的比值。

$SecA = \frac{H}{P}= \frac{AB}{AC}$

$SecB = \frac{H}{P}= \frac{AB}{CB}$

余切（cot）：

角的余切定义为与角相邻的边与对角的边的长度之比。对于上述三角形，角cot的值对于∠A和∠B都给出，cot角的定义是斜边与其底的比值。

$CotA = \frac{B}{P}= \frac{AC}{CB}$

$CotB = \frac{B}{P}= \frac{CB}{AC}$

如果 2y cosθ= x sinθand 2x secθ- y cosecθ= 3，则证明 x ² + 4y ² = 4

解决方案：

2ycosθ= xsinθ …….. (1)

$\therefore \frac{2y}{sinθ} = \frac{x}{cosθ}$

$\therefore$2ycosecθ= xsecθ …….. (2)

2xsecθ− ycosecθ= 3

From (2), we get

2(2ycosecθ) − ycosecθ= 3

$\therefore$4ycosecθ− ycosecθ= 3

$\therefore$3ycosecθ= 3

$\therefore$ycosecθ= 1

$\therefore$y =$\frac{1}{cosecθ}$

$\therefore$y = sinθ …….. (3)

From (1), we get

2ycosθ= xsinθ

2sinθcosθ= xsinθ …….. (From (3))

$\therefore$cosθ=$\frac{x}{2}$……… (4)

We know that sin²θ+ cos²θ= 1

$\therefore$y² +$\frac{x^2}{4}$= 1 ………(From (3) and (4))

Multiplying by 4 on both sides;

x² + 4y² = 4

Hence, Proved

类似问题

问题 1：如果 xcosθ – ysinθ = √(x ² + y ² ) 并且$\frac{cos^2θ}{a^2} + \frac{sin^2θ}{b^2} = \frac{1}{x^2+y^2}$ ， 然后$\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$ = 1

解决方案：

xcosθ – ysinθ = √(x² + y²)

$\therefore \frac{xcosθ}{√(x2 + y2)} - \frac{ysinθ}{√(x2 + y2)} = 1$

$\therefore (\frac{x}{√(x2 + y2)}).cosθ + (\frac{-y}{√(x2 + y2)}).sinθ = 1$…… (1)

We know that sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ sinθ.sinθ + cosθ.cosθ = 1 …… (2)

Comparing equations (1) and (2), we get,

sinθ =$\frac{-y}{√(x^2 + y^2)}$

cosθ =$\frac{x}{√(x^2 + y^2)}$

It is given that,

$\frac{cos^2θ}{a^2} + \frac{sin^2θ}{b^2} = \frac{1}{x^2+y^2}$

$\therefore \frac{x^2}{(x^2+y^2)a^2} + \frac{y^2}{(x^2+y^2)b^2} = \frac{1}{x^2+y^2}$

$\therefore \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Hence, Proved.

问题2：如果asinθ – bcosθ = c，则证明acosθ + bsinθ = ± √(a ² + b ² – c ² )。

解决方案：

asinθ – bcosθ = c

Squaring both sides, we get,

(asinθ – bcosθ)² = c²

$\therefore$a²cos²θ – 2absinθcosθ + b²sin²θ = c²

We know that sin²θ + cos²θ = 1

$\therefore$a²(1 – sin²θ) – 2absinθcosθ + b²(1 – cos²θ) = c²

$\therefore$a² – a²sin²θ – 2absinθcosθ + b² – b²cos²θ = c²

$\therefore$a² + b² – c² = a²sin²θ + 2absinθcosθ + b²cos²θ

$\therefore$(asinθ + bcosθ)² = a² + b² – c²

Taking square root on both sides, we get,

acosθ + bsinθ = ± √(a² + b² – c²)

Hence, Proved.

问题 3：如果 x = asinθ 和 y = acosθ 那么求 x ² + y ² = a ²的值

解决方案：

x = asinθ

Squaring both sides, we get,

x² = a²sin²θ …….. (1)

y = acosθ

Squaring both sides, we get,

y² = a²cos²θ …….. (2)

Adding equations (1) and (2),

x² + y² = a²sin²θ + a²cos²θ

$\therefore$x² + y² = a²(sin²θ + cos²θ)

We know that sin²θ + cos²θ = 1

$\therefore$x² + y² = a²(1)

$\therefore$x² + y² = a²

Hence, Proved.