证明 √(sec θ – 1)(sec θ + 1) = cosec θ – cot θ

本文用代数方式证明√(sec θ – 1)(sec θ + 1) = cosec θ – cot θ。以下是证明过程：

步骤1：展开左边

首先，展开左边的式子√(sec θ – 1)(sec θ + 1)，得到：

√(sec^2θ – 1)

因为sec^2θ = 1 + tan^2θ，所以√(sec^2θ – 1)变为√(1 + tan^2θ – 1)，简化为√tan^2θ。

步骤2：展开右边

接下来，展开右边的式子cosec θ – cot θ，得到：

cosec θ – cot θ = 1/sinθ – cosθ/sinθ = (1 – cosθ)/sinθ

因为1 – cosθ = 2sin^2(θ/2)，所以(1 – cosθ)/sinθ变为2sin^2(θ/2)/sinθ。又因为sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)，所以2sin^2(θ/2)/sinθ变为4sin(θ/2)cos(θ/2)/2sin(θ/2)cos(θ/2)，最终简化为2/cosθ。

步骤3：比较左右两边

我们已经得到了左边和右边的展开式，现在将它们放在一起比较：

√tan^2θ = 2/cosθ

因为tanθ = sinθ/cosθ，所以可以将√tan^2θ变为√(sinθ/cosθ)^2，简化为|sinθ|/cosθ。而2/cosθ可以简化为2sin(π/2 – θ)。所以，上式变为：

|sinθ|/cosθ = 2sin(π/2 – θ)

因为θ的取值范围是0到π，所以sinθ和cosθ都是非负数。这样，左边和右边都可以除以sinθ和cosθ，得到：

|sinθ| = 2*cos(π/2 – θ)

因为cos(π/2 – θ) = sinθ，所以上式变为：

|sinθ| = 2sinθ

左右两边相等。所以证明了√(sec θ – 1)(sec θ + 1) = cosec θ – cot θ。

代码片段如下：

证明 √(sec θ – 1)(sec θ + 1) = cosec θ – cot θ

### 步骤1：展开左边

√(sec^2θ – 1) = √(1 + tan^2θ – 1) = √tan^2θ

### 步骤2：展开右边

cosec θ – cot θ = (1 – cosθ)/sinθ = 2sin^2(θ/2)/sinθ = 4sin(θ/2)cos(θ/2)/2sin(θ/2)cos(θ/2) = 2/cosθ

### 步骤3：比较左右两边

√tan^2θ = 2/cosθ

|sinθ|/cosθ = 2sin(π/2 – θ)

|sinθ| = 2*cos(π/2 – θ)

|sinθ| = 2sinθ