门 | GATE CS 2020 |第 53 题

问题描述

给定两个有序数组 A 和 B，大小为 m 和 n，分别存储 m 和 n 个整数。设计一个算法，以时间复杂度 O(log(m+n)) 找到这两个数组的中位数。

解题思路

中位数是指将一个集合划分为相等长度的两个子集的值，其中一个子集中的每个值都比另一个子集中的任何值都要小。在这个问题中，我们需要找到两个有序数组的中位数，因此需要将它们合并为一个有序数组，再找到其中的中位数。但是，我们需要使用 O(log(m+n)) 的时间复杂度。

我们可以使用二分查找来解决这个问题。首先，我们二分查找 A 数组，并在 B 数组中找到一个分割点，该分割点将 A 数组分成两个部分，使得左边的部分的元素都小于右边的部分中的元素。接下来，我们检查左边部分中的最大元素和右边部分中的最小元素，以获得这两个部分的中位数。如果中位数在左半部分，我们继续在 A 数组的左半部分和 B 数组的右半部分中进行相同的操作。如果中位数在右半部分，我们继续在 A 数组的右半部分和 B 数组的左半部分中进行相同的操作。如果 A 数组的元素个数为奇数，则中位数是左边部分的最大元素；否则，中位数是左半部分的最大元素和右半部分的最小元素的平均数。

代码实现

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    i_min, i_max = 0, m
    while i_min <= i_max:
        i = (i_min + i_max) // 2
        j = (m + n + 1) // 2 - i
        if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
            i_min = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            i_max = i - 1
        else:
            if i == 0: max_left = nums2[j-1]
            elif j == 0: max_left = nums1[i-1]
            else: max_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_left
            if i == m: min_right = nums2[j]
            elif j == n: min_right = nums1[i]
            else: min_right = min(nums1[i], nums2[j])
            return (max_left + min_right) / 2.0

总结

本题重点在于理解题意和二分查找的算法实现。如果理解了二分查找算法的流程，将问题分解为子问题，并在每次迭代中找到新的分割点，那么这个问题就迎刃而解了。时间复杂度为 O(log(m+n))，可以处理大型输入。