如果 aRb 和 bRc 一起表示 cRa，则称关系 R 是循环的。
以下哪个选项是正确的?
(A)如果关系 S 是自反和对称的，那么 S 是一个等价关系。
(B)如果关系 S 是圆形且对称的，则 S 是等价关系。
(C)如果关系 S 是自反和循环的，则 S 是等价关系。
(D)如果关系 S 是传递的和循环的，那么 S 是一个等价关系。答案： (C)
解释：如果 R 是循环和自反的，则 R 是 A 上的等价关系。
证明 ：
假设 R 是循环的和自反的。我们要证明 R 是一个等价关系。
我们已经知道 R 是自反的，所以我们需要证明 R 是对称和传递的。
对于对称性，假设 x, y ∈ A 使得 xRy。我们想证明 yRx。
由于 R 是自反的并且 y ∈ A，我们知道 yRy。
由于 R 是圆形且 xRy 和 yRy，我们知道 yRx。
因此 R 是对称的。
对于传递性，假设 x, y, z ∈ A 使得 xRy 和 yRz。我们想证明 xRz。
由于 R 是圆形且 xRy 和 yRz，我们知道 zRx。
因为我们已经证明了 R 是对称的，所以 zRx 意味着 xRz。因此 R 是可传递的。
因此 R 是一个等价关系。这个问题的测验