ISRO CS 2009 - Question 47

题目描述

给定一个由整数组成的n x n的矩阵。写一个程序来找到填充它的数字，使得每行，每列和对角线上的所有数字总和相等。

输入格式

• 第一行包含一个整数n，表示矩阵的大小。
• 接下来的n行，每行包含n个整数，表示矩阵中的元素。

输出格式

如果有解，则输出填充的数字，否则输出-1。

示例

输入：

4
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

输出：

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

解题思路

该问题的一种解法是使用回溯法和递归实现。在回溯法中，我们穷举所有可能的解，并只保留正确的解。

我们首先定义一个填充矩阵数字的函数，该函数接收以下参数：

• matrix是矩阵本身。
• n是矩阵的大小。
• rowSum是每行的总和。
• colSum是每列的总和。
• diagSum是主对角线和副对角线的总和。
• row是要填充的行。
• col是要填充的列。

在函数内部，我们先检查row是否等于n，如果是，则说明我们已经填完了整个矩阵。我们检查对角线和、每行和每列的总和是否相等。如果是，则返回True，否则返回False。

否则，我们用一个循环来尝试用1到n^2之间的所有数字填充当前位置。我们检查该数字是否已存在于矩阵中，并将行总数、列总数和对角线总数更新为当前值，然后递归该函数以填充下一行。

如果递归返回True（说明成功填充了整个矩阵）或者我们尝试了所有可能的数字仍然未能找到解决方案，则回溯并重置矩阵。

程序实现

以下是使用Python实现上述思路的程序：

def solve(matrix, n, rowSum, colSum, diagSum, row, col):
    if row == n:
        if (rowSum == colSum and colSum == diagSum):
            return True
        else:
            return False

    for i in range(1, n**2 + 1):
        if i not in set(matrix):
            matrix[row][col] = i

            rowSum += i
            colSum += i

            if row == col:
                diagSum += i

            if col == n - 1:
                if solve(matrix, n, 0, colSum, diagSum, row + 1, 0):
                    return True
            else:
                if solve(matrix, n, rowSum, colSum, diagSum, row, col + 1):
                    return True

            matrix[row][col] = 0

            rowSum -= i
            colSum -= i

            if row == col:
                diagSum -= i

    return False

n = int(input())
matrix = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(n)]

if solve(matrix, n, 0, 0, 0, 0, 0):
    for row in matrix:
        print(' '.join(map(str, row)))
else:
    print(-1)

该程序从标准输入中读取矩阵的大小和元素的值列表。然后，它调用solve函数，该函数尝试以所有可能的方式填充矩阵，并返回一个布尔值，表明是否找到了解决方案。如果找到了解决方案，则打印填充的数字，否则打印-1。