数值分析的割线法

介绍

数值分析中的割线法是一种求解非线性方程的方法，可以用于求解函数的根。与牛顿迭代法类似，割线法也是用一条直线逼近函数的零点，但是其迭代公式中的一阶导数被用两个相邻的迭代函数计算差商的近似值替换掉了，因此不需要计算函数的导数，也没有牛顿法的局限性，可以在起点处没有定义导数或者导数为零的情况下使用。

割线法的迭代公式

根据割线法，我们从已知的两个近似根$x_0$和$x_1$开始，以两个点$(x_0,f(x_0))$和$(x_1,f(x_1))$所在的割线$L_1$与$x$轴的交点为第三个近似根$x_2$。

由于$L_1$与$x$轴的交点$x_2$不是函数$f(x)$的零点，我们可通过相邻迭代的近似根$x_1$和$x_0$所对应的函数值$f(x_1)$和$f(x_0)$建立一条割线$L_2$，由割线$L_2$与$x$轴的交点作为新的近似根$x_2$。

形式化的迭代公式如下：

$$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k) \times (x_k - x_{k-1})}{f(x_k) - f(x_{k-1})}$$

程序示例

以下是Python中使用割线法求解函数$f(x)=x^3 - 2x - 5$的根的示例代码：

def f(x):
    return x**3 - 2*x - 5

def secant_method(x0, x1, f, max_iter=100, tol=1e-6):
    for i in range(max_iter):
        x2 = x1 - (f(x1) * (x1 - x0)) / (f(x1) - f(x0))
        if abs(x2 - x1) < tol:
            return x2
        x0 = x1
        x1 = x2
        
    raise ValueError("Method failed to converge")
        
root = secant_method(1, 2, f)
print("Root is:", root)

该示例代码中，使用secant_method函数实现了割线法的迭代过程，f函数是待求根的函数，max_iter表示最大迭代次数，tol表示容差，函数的返回值为求得的根。对于该示例函数f(x)=x^3 - 2x - 5，程序输出的结果是：

Root is: 2.094551481293365

总结

割线法是一种求解非线性方程的实用方法，它通过一条直线逼近函数的零点，不需要计算函数的导数，具有较高的效率和精度，可以应用于计算机图形学、工程计算等领域。