数值分析中的绝对、相对和百分比误差

在数值分析中，误差是无法避免的。为了衡量我们的计算结果与真实值之间的差距，我们需要使用以下三种误差度量方式：绝对误差、相对误差和百分比误差。

绝对误差

绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距的绝对值。我们可以使用以下公式来计算绝对误差：

$$ E_{abs}=|x-x_{true}| $$

其中，$E_{abs}$ 表示绝对误差，$x$ 表示计算结果，$x_{true}$ 表示真实值。

相对误差

相对误差是指计算结果与真实值之间的差距与真实值之间的比值。我们可以使用以下公式来计算相对误差：

$$ E_{rel}=\frac{|x-x_{true}|}{|x_{true}|} $$

其中，$E_{rel}$ 表示相对误差，$x$ 表示计算结果，$x_{true}$ 表示真实值。

百分比误差

百分比误差是指相对误差乘以100的值。我们可以使用以下公式来计算百分比误差：

$$ E_{%}=\frac{|x-x_{true}|}{|x_{true}|}\times 100% $$

其中，$E_{%}$ 表示百分比误差，$x$ 表示计算结果，$x_{true}$ 表示真实值。

应用举例

假设我们需要计算圆的面积，圆的半径为 5cm，我们知道圆的面积的真实值为78.53981634。

我们通过自己的程序计算出圆的面积为 78.53981633，下面我们分别计算该程序的绝对误差、相对误差和百分比误差。

绝对误差

$$ E_{abs}=|78.53981633-78.53981634|=1\times 10^{-10} $$

因此，该程序的绝对误差为 $1\times 10^{-10}$。

相对误差

$$ E_{rel}=\frac{|78.53981633-78.53981634|}{|78.53981634|}=1.2732\times 10^{-12} $$

因此，该程序的相对误差为 $1.2732\times 10^{-12}$。

百分比误差

$$ E_{%}=\frac{|78.53981633-78.53981634|}{|78.53981634|}\times 100%=1.6188\times 10^{-10}% $$

因此，该程序的百分比误差为 $1.6188\times 10^{-10}%$。

通过这些误差量度方式，我们可以衡量我们计算结果的准确程度，进而优化我们的算法，提高计算精度。

以上就是数值分析中的绝对、相对和百分比误差的介绍。