计数具有奇数按位异或的子数组

在解决问题时，我们经常需要对子数组进行处理。在这种情况下，我们要查找一部分具有特定特征的子数组。这里我们需要找到所有具有奇数个元素的子数组，这些元素按位异或的结果是奇数。这是一个相对比较简单的问题，但实际上含有一些技巧。

思路

首先，让我们考虑一下具有奇数个元素的子数组的数量。我们可以通过统计长度为奇数的子数组的数量来得到答案。

设数组 $a$ 的长度为 $n$，那么长度为奇数的子数组的数量为

$$ \frac{n^2 - (n - 1)^2}{2} = n $$

接下来，我们需要找到一个子数组，使得它的元素异或的结果是奇数。假设一个子数组的异或结果是 $s$，那么如果再与一个奇数异或，那么就能得到一个偶数。因此，一个子数组异或的结果与 $1$ 的按位与结果是 $1$，等价于这个子数组异或的结果是奇数。

考虑对数组进行前缀异或的预处理。我们对数组的前缀按位异或，得到 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，则子数组 $[i,j]$ 的异或结果 $x_i \oplus x_{i+1} \oplus \cdots \oplus x_j$ 等价于 $x_j \oplus x_i \oplus x_{i-1}$。

现在，我们来看一下如何在 $O(n)$ 时间内找到满足条件的子数组。

假设我们正在处理位置 $j$，则以位置 $j$ 为右端点的满足条件的子数组数目为 $ans_j$。那么对于 $i < j$，我们只需要检查 $x_i \oplus x_j$ 是否为奇数即可得到以位置 $j$ 为右端点的满足条件的字数组数目，即 $ans_j$。

可以用一个变量 $sum$ 来记录前面出现的满足条件的子数组数量的总和。$sum$初始值为 $0$。每次处理 $ans_j$ 时，它的值等于 $ans_j = sum + (x_i \oplus x_j\ is\ odd)$，并且更新 $sum$。

最后，将 $ans$ 数组中所有的值相加，它们就是我们需要找到的满足条件的子数组的数目。

综上所述，我们可以在 $O(n)$ 时间内解决这个问题。

代码

def count_odd_xor_subarrays(a):
    n = len(a)
    x = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        x[i] = a[i - 1] ^ x[i - 1]
    cnt = [0] * 2
    res = 0
    for i in range(1, n + 1):
        cnt[x[i] % 2] += 1
        if x[i] % 2 == 1:
            res += cnt[0]
        else:
            res += cnt[1]
        cnt[x[i] % 2] += 1
    return res

以上就是计数具有奇数按位异或的子数组的所有介绍和实现，希望对您有所帮助！