从数组中计数具有奇数按位XOR值的子序列

介绍

在有些面试或编程竞赛中，题目会要求我们从一个给定数组中找到满足特定条件的子序列。本文将介绍一种题型：从数组中计数具有奇数按位XOR值的子序列。我们将在此介绍该问题的解决方案。

题目描述

给定一个整数数组，找出其中所有按位异或和为奇数的子序列数量。结果需要模 $10^9 + 7$ 。

解题思路

首先，我们需要根据奇偶性来划分子序列，因为如果子序列的异或和为偶数，那么它无法贡献结果。因此，我们可以使用动态规划来解决问题。

我们定义 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个元素中，选取异或和为 $j$ 的子序列的数量。

对于第 $i$ 个元素，我们可以选择将其放入子序列中，也可以选择不将其放入子序列中。如果不将其放入子序列中，则 $dp[i][j]$ 与 $dp[i-1][j]$ 相等。如果将其放入子序列中，则 $dp[i][j]$ 的值等于 $dp[i-1][j\operatorname{xor}a_i]$。

最终的结果是在 $dp[n][j]$ 中累加所有奇数数量。

代码实现

mod = 1000000007

def countSubsequences(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * 1024 for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1024):
            dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i-1][j^nums[i-1]]) % mod

    res = 0
    for i in range(1, 1024, 2):
        res = (res + dp[n][i]) % mod

    return res

总结

本文介绍了一种用于从数组中计数具有奇数按位XOR值的子序列的解法。我们使用了动态规划来解决问题，并在结果中累加所有奇数数量。