在D上执行给定操作后，数组中可到达的元素数

当给定一个数组和一组操作，在数组中执行操作后，我们可能会想知道在操作后可以到达多少个元素。这个问题可以用很多算法解决，本文将介绍几种比较常见的算法。

算法一：递归深度优先搜索

这个算法是一个比较直接的暴力算法，我们可以用递归函数深度优先搜索数组，记录可以到达的元素数量。具体步骤如下：

1. 从起点开始搜索，搜索时用一个标记数组记录已经搜过的点，初始化为全 0。

   int visited[N];
   memset(visited, 0, sizeof visited);
   

2. 对于每个元素，如果它可以到达，就重新调用搜索函数。

   int dfs(int x) {
       int cnt = 1;
       for (int i = 0; i < ops.size(); i++) {
           // 如果操作可以到达下一个元素
           if (can_reach(x, ops[i])) {
               int nx = do_op(x, ops[i]); // 计算下一个位置
               if (!visited[nx]) {
                   visited[nx] = true; // 标记为已搜过
                   cnt += dfs(nx); // 继续搜索，累计计数
               }
           }
       }
       return cnt;
   }
   

3. 最后得到的 cnt 就是可以到达的元素数量。

这个算法的时间复杂度是 O(𝑁×𝑚^𝐷)，其中 N 是数组大小，m 是操作数量，D 是执行操作的深度。这个复杂度非常高，只是一种比较直观的解法。

算法二：记忆化搜索

记忆化搜索是一种优化深度优先搜索的算法，它可以将已搜索过的结果记录下来，避免重复搜索，从而加速搜索。具体步骤如下：

1. 定义一个二维数组 memo，记录每个位置受到每个操作时所能到达的位置。

   int memo[N][(1 << M)];
   memset(memo, -1, sizeof memo);
   

2. 在搜索时，先检查 memo 是否已经存储了当前位置和操作的结果，如果存储了就直接返回该结果。

   int dfs(int x, int state) {
       if (memo[x][state] != -1) return memo[x][state];
       int cnt = 1;
       for (int i = 0; i < ops.size(); i++) {
           if (can_reach(x, ops[i])) {
               int nx = do_op(x, ops[i]);
               int nstate = add_op(state, ops[i]); // 用位运算记录操作序列
               if (!visited[nx]) {
                   visited[nx] = true;
                   cnt += dfs(nx, nstate);
               }
           }
       }
       memo[x][state] = cnt; // 记忆搜索结果
       return cnt;
   }
   

3. 最后得到的 cnt 就是可以到达的元素数量。

记忆化搜索的时间复杂度与深度优先搜索类似，都是 O(𝑁×𝑚^𝐷)，但实际运行时却比不优化的深度优先搜索要快很多。

算法三：宽度优先搜索

宽度优先搜索是一种广度优先搜索的算法，用队列实现。与深度优先搜索相比，它可以在更短的时间内找到最优解，也能优化搜索速度。具体步骤如下：

1. 定义一个队列 q，用于记录要搜索的位置。

   queue<int> q;
   

2. 将起点入队，同时标记为已搜过。

   q.push(s);
   visited[s] = true;
   int cnt = 1;
   

3. 对于队列中的每个位置，枚举所有操作，计算下一个位置，如果该位置未搜过，就将其入队，同时标记为已搜过。

   while (!q.empty()) {
       int x = q.front();
       q.pop();
       for (int i = 0; i < ops.size(); i++) {
           if (can_reach(x, ops[i])) {
               int nx = do_op(x, ops[i]);
               if (!visited[nx]) {
                   visited[nx] = true;
                   cnt++;
                   q.push(nx);
               }
           }
       }
   }
   

4. 最后得到的 cnt 就是可以到达的元素数量。

宽度优先搜索的时间复杂度最坏情况下也是 O(𝑁×𝑚^𝐷)，但实际运行时却具有优秀的时间复杂度和空间复杂度，因此也是优秀的解法之一。

总结

本文介绍了在 D 上执行给定操作后，数组中可到达的元素数的三种解法：深度优先搜索、记忆化搜索和宽度优先搜索。虽然这些算法的时间复杂度非常高，但在实际运用中，它们仍然可以发挥巨大的作用。我们应该根据具体情况选择适合的算法，在不同的场景下使用它们。