GATE-CS-2017（套装2）题目解析

本文将解析 GATE-CS-2017（套装2）中的第 41 题，针对此题进行介绍和讲解。

题目描述

给定一个 $n$ 个元素的、未排序的数组 $A$，其中所有元素均为正整数。现在需要设计一个线性时间的算法，找到 $A$ 中的第 $k$ 小的元素。假设 $k \leq n$，并且 $k \geq 1$。

解题思路

本题可以用快速选择算法（Quickselect）来解决，时间复杂度为 $O(n)$。其基本思路类似于快速排序算法，但是快速选择算法只需要对比一次划分之后的左右子区间就可以确定第 $k$ 小的元素在哪个子区间中，然后递归处理该子区间即可。

• 选取一个随机元素 $p$（也可以选取第一个或者最后一个元素作为枢纽元素）;
• 划分区间 $A$，并将小于 $p$ 的元素放在 $p$ 的左边，将大于 $p$ 的元素放在 $p$ 的右边；
• 如果 $k\leq l$，则第 $k$ 小的元素在 $p$ 的左边子区间中，递归处理左边子区间 $[l,r-1]$；
• 如果 $k = l + 1$，则第 $k$ 小的元素为 $p$，结束运算；
• 否则，第 $k$ 小的元素在 $p$ 的右边子区间中，递归处理右边子区间 $[l+1,r]$。

在划分数组的过程中，我们可以采用 Lomuto 分区策略或者 Hoare 分区策略。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现快速选择算法的代码片段。

def partition(A, l, r):
    pivot = A[l] # 取第一个元素作为枢纽元素
    i = l
    for j in range(l+1, r+1):
        if A[j] < pivot:
            i += 1
            A[i], A[j] = A[j], A[i]
    A[l], A[i] = A[i], A[l]
    return i

def quick_select(A, l, r, k):
    if l == r:
        return A[l]
    split = partition(A, l, r)
    if k == split:
        return A[split]
    elif k < split:
        return quick_select(A, l, split-1, k)
    else:
        return quick_select(A, split+1, r, k)

if __name__ == '__main__':
    A = [3, 7, 2, 6, 1, 5, 4]
    k = 3
    result = quick_select(A, 0, len(A)-1, k-1)
    print(result)

其中，quick_select 函数用来快速选择第 $k$ 小的元素，partition 函数用来在 $A[l:r]$ 中进行一次分区操作。

总结

本文介绍了 GATE-CS-2017（套装2）中的第 41 题，并且给出了使用快速选择算法在线性时间内求解该问题的方法和实现。快速选择算法是快速排序算法的变种，具有时间复杂度为 $O(n)$ 的优势，适用于处理大型数据和在比较操作代价较高的情况下求解问题。