国际空间研究组织 | ISRO CS 2008 | 问题 23

这是一道来自于 2008 年印度国际空间研究组织（ISRO）计算机科学考试中的问题，要求程序员们解决。

问题描述

有一个长度为 n 的正整数序列 A，对于每个 k (1 <= k <= n)，请输出 sum(A[i] * A[j]) 的结果，其中 i,j 属于 [1,n]，并且 |i-j| = k。

输入格式

第一行输入一个正整数 n（2 <= n <= 100000），代表序列的长度。

第二行输入 n 个正整数，用空格隔开，表示序列 A。

输出格式

输出 n 行，每行一个正整数，第 k 行的正整数表示 sum(A[i] * A[j]) 的结果，其中 i,j 属于 [1,n]，并且 |i-j| = k。

样例输入

4
1 2 3 4

样例输出

20
22
16
12

解题思路

题目要求我们对于每个 k，求出序列 A 中所有满足 |i-j| = k 的 i,j 对应的乘积之和 sum(A[i] * A[j])。对于 k=1，也就是 i 和 j 相邻的情况，我们可以直接对序列 A 求平方和即可得到答案。

对于其他的 k 值，我们可以通过遍历序列 A 每个元素，计算出距它 k 个单位距离的元素，然后将这两个元素的乘积加入到当前 k 的答案中，以此类推直到遍历完整个序列。

具体实现时，我们可以利用一个哈希表来记录每个数出现的下标位置，这样可以O(1)时间内找到距它 k 个单位距离的数，从而加速计算。

参考代码

def solve(n, a):
    ans = [0] * n
    # 枚举 k
    for k in range(1, n):
        # 枚举 i
        for i in range(n - k):
            j = i + k
            ans[k] += a[i] * a[j]
        # 加上与前面的 k 值重复的答案
        ans[k] += ans[k-1]  
    # k=1 时的答案是序列 A 的平方和
    ans[0] = sum(x**2 for x in a)
    return ans

# 测试样例
n = 4
a = [1, 2, 3, 4]
print(solve(n, a))

该解法的时间复杂度为 O(n)（其中哈希表的查询和插入操作的平均时间复杂度为 O(1)），空间复杂度为 O(n)（用于存储哈希表和答案数组）。