门| Gate IT 2007 |问题20

简介

这是Gate IT 2007中的问题20。问题描述如下：有$n$个点（$n\leqslant 100$），每个点有$x$轴坐标和$y$轴坐标，且所有点的$x$轴坐标各不相同。现在，我们要从这$n$个点中选取$k$个点，使得这$k$个点在$x$轴上的距离差最大的点对的距离尽可能小。如果有多种方案，输出最小的这个距离。

思路

我们考虑二分答案，设当前二分的答案为$d$，那么我们需要在$n$个点中选出$k$个点，使得这$k$个点在$x$轴上的距离差最大的点对的距离不超过$d$。由于$x$轴坐标互不相同，所以我们可以将这$n$个点按照$x$轴坐标升序排序。接下来我们用滑动窗口来找到$k$个点中距离最大的点对的距离，具体地，我们用一个指针$i$来表示当前考虑到的位置，用一个指针$j$来表示滑动窗口的左端点，那么对于每个$i$，我们需要找到最小的$j$，使得$x_i-x_j\leqslant d$，此时$k$个点的$x$轴范围为$[x_j,x_i]$，我们不断移动$i$，同时不断收缩$j$，直到$[x_j,x_i]$的跨度不超过$d$，此时记录此时的点对距离，接着我们继续右移$i$，再次收缩$j$，如此循环直到考虑完所有的$n$个点。重复以上的操作，直到找到最小的$d$，使得满足条件的$k$个点不超过$k$。

时间复杂度为$O(n\log_2A)$，其中$A$为$x$轴坐标的最大值。

代码实现

def check(points, k, d):
    left, cnt, n = 0, 1, len(points)
    for right in range(1, n):
        while points[right][0] - points[left][0] > d:
            left += 1
            if cnt <= k:
                return False
            cnt -= 1
        cnt += 1
    return cnt <= k

def gate_IT_2007_problem_20(points, k):
    n = len(points)
    points.sort()
    l, r, ans = 0, points[-1][0] - points[0][0], -1
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check(points, k, mid):
            ans = mid
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1
    return f"The minimum distance is {ans}."

# Example:
points = [(1, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (5, 3)]
k = 3
print(gate_IT_2007_problem_20(points, k))  # The minimum distance is 2.

以上是本题的Python代码实现，其中points是给出的$n$个点的列表，每个点以二元组的形式存储，即$(x,y)$，$k$表示选取$k$个点，函数返回最小的$d$，满足条件的$k$个点的距离差不超过$d$。