门| Gate IT 2007 |问题2

设A为$\begin{pmatrix} 3&1&1&2\\ 3&1&1&2 \end{pmatrix}$ 。 x ^T Ax的最大值是多少，其中对A的单位特征向量x取最大值?
(A) 5
(乙) (5 +√5)/ 2
(C) 3
(D) (5 –√5)/ 2答案： (B)
说明： |M-λ.I| = 0，其中λ是特征值，I是单位矩阵
| A-(λ* I)| = 0
(3-λ)(2-λ)-1 = 0
^{6-3λ-2λ+λ2} + 1 = 0
^λ2-5λ+ 5 = 0
λ=(5 +√5)/ 2和(5-√5)/ 2，
λ=(5 +√5)/ 2是最大值另一个带有负号的根，它将不是最大值。
例如，λ= 5 +5√2，x ^T Ax = [18.131 21.231 21.231 34.331]
对于，λ= 5−5√2，x ^T Ax = $\begin{pmatrix} 14.300&−0.700\\ 6.200&1.200 \end{pmatrix}$
因此，对于λ= 5 +5√2，x ^T Ax的值最大。
这个问题的测验