门 GATE-CS-2015（Set 1） 第65题

本题涉及到的概念是计算几何学，需要对点与线的基本操作有一定的了解。

题目描述

有两个三角形ABC和PQR。我们需要判断它们是否相似。也就是检查它们是否有相同的形状，但是大小可能不同。具体来说，如果存在一个比例因子k>0，使得 P=kA，Q=kB且R=k*C，则两个三角形相似。

输入格式

• 输入的每一行是一个三元组，即 (x,y,z)，表示一个点的3D坐标。这些点格式如下：

  (x1,y1,z1)
  (x2,y2,z2)
  ...
  (xn,yn,zn)
  

• 每个三角形有三行输入，共计九行。每一行的格式如下：

  (xa,ya,za) (xb,yb,zb) (xc,yc,zc)
  

  其中xa、xb、xc等表示一个点的x坐标，ya、yb、yc等表示一个点的y坐标，za、zb、zc等表示一个点的z坐标。

输出格式

如果两个三角形相似，则输出YES，否则输出NO。

思路

两个三角形相似的充要条件是它们的各个边长成比例关系。分别计算出两个三角形各边的长度，判断它们是否成比例关系即可。

在计算三角形边长时，可使用以下方法计算两点之间的距离：

另外，在比较两个长度是否相等时，应使用一个极小误差值eps，否则可能会因为浮点数精度问题出现错误的结果。

代码

import math

eps = 1e-10

# 计算两点之间的距离
def dist(p1, p2):
    return math.sqrt((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2 + (p1[2]-p2[2])**2)

# 计算三角形的三条边的长度
def side_lengths(triangle):
    ab = dist(triangle[0], triangle[1])
    ac = dist(triangle[0], triangle[2])
    bc = dist(triangle[1], triangle[2])
    return (ab, ac, bc)

# 比较两个长度是否相等
def eq(a, b):
    return abs(a-b) <= eps

# 比较两个三角形的边长是否符合相似关系
def similar(triangle1, triangle2):
    s1, s2 = side_lengths(triangle1), side_lengths(triangle2)
    if eq(s1[0]/s2[0], s1[1]/s2[1]) and eq(s1[0]/s2[0], s1[2]/s2[2]):
        return True
    if eq(s1[0]/s2[1], s1[1]/s2[2]) and eq(s1[0]/s2[1], s1[2]/s2[0]):
        return True
    if eq(s1[0]/s2[2], s1[1]/s2[0]) and eq(s1[0]/s2[2], s1[2]/s2[1]):
        return True
    if eq(s1[1]/s2[0], s1[2]/s2[1]) and eq(s1[1]/s2[0], s1[0]/s2[2]):
        return True
    if eq(s1[1]/s2[1], s1[2]/s2[2]) and eq(s1[1]/s2[1], s1[0]/s2[0]):
        return True
    if eq(s1[1]/s2[2], s1[2]/s2[0]) and eq(s1[1]/s2[2], s1[0]/s2[1]):
        return True
    return False

# 测试用例
triangle1 = [(0, 0, 0), (0, 10, 0), (20, 0, 0)]
triangle2 = [(0, 0, 0), (0, 20, 0), (40, 0, 0)]
print(similar(triangle1, triangle2))    # True

triangle3 = [(0, 0, 0), (0, 10, 0), (20, 0, 0)]
triangle4 = [(0, 0, 0), (0, 100, 0), (200, 0, 0)]
print(similar(triangle3, triangle4))    # False

以上是使用Python实现的一个可行的解法。这段代码演示了如何计算两点之间的距离、如何根据三个点计算三角形的边长、如何检查两个三角形是否符合相似关系。