门| GATE-CS-2015(Set 1)|问题21

这是一道典型的动态规划问题。给定一个由 0 和 1 组成的矩阵，每个格子要么是 0 （表示障碍物），要么是 1 （表示可通行的空间）。我们希望从左上角（起点）到右下角（终点）走一条路径。每次可以向上、向下、向左或向右移动一个空间，不能穿过障碍物。求从起点到终点的所有路径数量。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们可以定义一个二维数组 $dp[i][j]$，其中 $dp[i][j]$ 表示从起点到点 $(i,j)$ 的路径数量。根据题目要求，我们需要在能够通行的点上进行移动，因此可以先将所有的障碍物位置初始化为 $0$，起点位置为 $1$。

接下来，我们可以按照下面的状态转移方程来更新 $dp$ 数组：

$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j]+dp[i][j-1] & \text{if } a[i][j] = 1 \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

其中 $a[i][j]$ 表示矩阵中位置 $(i,j)$ 的值，可以是 $0$ 或 $1$。这个方程的意思是，如果当前位置 $(i,j)$ 是通行的，那么可以从上面位置 $(i-1,j)$ 和左边位置 $(i,j-1)$ 这两个位置转移而来，路径数量即为这两个位置的路径数量之和；否则，路径数量为 $0$。

最后，已知终点位置 $(m,n)$，起点位置路径数量即为 $dp[m][n]$。具体的实现细节可以参考下面的 Python 代码。

def count_paths(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = 1
    
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = 0
            else:
                if i > 0:
                    dp[i][j] += dp[i-1][j]
                if j > 0:
                    dp[i][j] += dp[i][j-1]
    
    return dp[m-1][n-1]

注意，如果起点或终点位置是障碍物，则路径数量为 $0$，需特殊处理。