题目描述

本题为GATE-CS-2014-(Set-1)的第65题。

题目链接：https://gateoverflow.in/2463/gate2014-1-65

给定一棵二叉树，要求将其打印成竖直方向的列。具体来说，对于每一列输出其中的所有节点值。节点的输出顺序是从上到下。

解题思路

方案一

考虑使用哈希表实现。可以用一个哈希表记录每个节点所在的列，并将该节点加入该列的集合中。遍历整棵树，记录每个节点的位置，最后按列号从小到大输出。

代码：

def vertical_order(root):
    column_map = {}
    min_column = float('inf')  # 最左边的列号
    max_column = float('-inf')  # 最右边的列号

    def DFS(node, column, row):
        nonlocal column_map, min_column, max_column
        if not node:
            return
        if column not in column_map:
            column_map[column] = []
        column_map[column].append((row, node.val))
        min_column = min(min_column, column)
        max_column = max(max_column, column)
        DFS(node.left, column - 1, row + 1)
        DFS(node.right, column + 1, row + 1)

    DFS(root, 0, 0)

    result = []
    for column in range(min_column, max_column + 1):
        column_list = column_map.get(column, [])
        column_list.sort()
        result.append([val for row, val in column_list])
    return result

方案二

另一种思路是使用广度优先搜索。按层遍历，每个节点记录它所在的列和行。使用两个哈希表分别记录每一列的最大和最小行号，最后按列号从小到大输出。

代码：

def vertical_order(root):
    if not root:
        return []

    column_map = {}
    min_column = float('inf')  # 最左边的列号
    max_column = float('-inf')  # 最右边的列号
    queue = [(root, 0, 0)]  # 节点队列

    while queue:
        node, column, row = queue.pop(0)
        if column not in column_map:
            column_map[column] = []
            min_column = min(min_column, column)
            max_column = max(max_column, column)
        column_map[column].append((row, node.val))
        if node.left:
            queue.append((node.left, column - 1, row + 1))
        if node.right:
            queue.append((node.right, column + 1, row + 1))

    result = []
    for column in range(min_column, max_column + 1):
        column_list = column_map[column]
        column_list.sort()
        result.append([val for row, val in column_list])
    return result

复杂度分析

两种解法的时间复杂度均为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 为节点数。空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题要求将二叉树打印成竖直方向的列，考察了哈希表和树的两种遍历方式。由于哈希表的高效处理能力，方案一在效率上稍胜一筹。在实际问题中，哈希表经常被用于对元素进行快速查找和存储，是一种十分重要的数据结构。