数据结构 |堆 |问题 3

简介

堆是一种数据结构，用于维护一个元素集合，并支持插入、删除最小/最大元素、以及查找最小/最大元素等操作。堆通常以树的形式实现，可以是最小堆或最大堆。

问题 3 是一个与堆数据结构有关的问题：给定一个长度为n的整数数组nums和一个整数k，找出数组nums中前k个最大的元素。本问题的解法涉及到堆的应用。

解法

1. 最小堆

这是一种比较简单的方法：维护一个大小为k的最小堆，遍历数组nums中的每个元素，如果当前元素比堆中最小元素还大，那么就把堆中最小的元素出堆，并将当前元素加入堆中。最终堆中的元素就是前k个最大的元素。

import heapq

def find_top_k(nums, k):
    heap = []
    for num in nums:
        if len(heap) < k:
            heapq.heappush(heap, num)
        elif num > heap[0]:
            heapq.heappop(heap)
            heapq.heappush(heap, num)
    return heap

这种方法的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n \log k)$，空间复杂度是 $\mathcal{O}(k)$。注意，如果需要输出前k个最大的元素，可以将堆中的元素逆序输出。

2. 快速排序

也可以用快速排序的思想解决本问题。快速排序分区时，每次可以确定一个元素在排序后的位置。那么如果当前确定的位置在前k个位置之后，就只需要对左半部分继续排序即可。

def find_top_k(nums, k):
    def quick_select(left, right):
        if left == right:
            return
        pivot = nums[left]
        i, j = left, right
        while i < j:
            while i < j and nums[j] <= pivot:
                j -= 1
            nums[i] = nums[j]
            while i < j and nums[i] >= pivot:
                i += 1
            nums[j] = nums[i]
        nums[i] = pivot
        if i == k - 1:
            return
        elif i > k - 1:
            quick_select(left, i - 1)
        else:
            quick_select(i + 1, right)

    quick_select(0, len(nums) - 1)
    return sorted(nums[:k], reverse=True)

快速排序的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n \log n)$，空间复杂度是 $\mathcal{O}(1)$。但是，如果数组中有大量相等的元素，快速排序的性能将下降。在这种情况下，可以考虑使用基数排序或桶排序等排序算法。