在距N个给定点最多曼哈顿距离为K的平面中是否存在任何点

简介

在二维平面中，曼哈顿距离是指两点之间在水平和垂直方向上的距离之和。给定 N 个点和一个距离 K，要求检查平面中是否存在任何点，其到 N 个给定点的曼哈顿距离都不超过 K。

解题思路

我们可以将问题转化为在以 N 个给定点为中心，以 K 为半径的矩形内是否存在任何点。首先，找到 N 个点的最小包围矩形（bounding box），即找到所有点中最左、最右、最上、最下的点，然后通过计算距离和找到对角线的长度 D。我们需要在矩形内找到所有距离 N 个给定点的曼哈顿距离都不超过 K 的点，因此，我们可以将矩形分割成若干个网格，每个网格的边长为 S = K / D。对于每个网格，我们可以计算出其中心点和 N 个给定点之间的曼哈顿距离，如果小于等于 K，则该网格中存在符合条件的点。因此，只需要遍历所有网格，即可找到所有满足条件的点。

具体算法实现可以使用两个哈希表：点哈希表和网格哈希表。点哈希表用于存储 N 个给定点的坐标，网格哈希表用于存储每个网格的中心点坐标和包含的点。具体过程如下：

1. 找到 N 个点的最小包围矩形，计算出矩形对角线长度 D。
2. 构建网格哈希表，将矩形分割成若干个网格，每个网格的边长为 S = K / D。
3. 遍历 N 个给定点，将每个点加入到点哈希表中。
4. 遍历所有网格，计算每个网格的中心点坐标和包含的点，将其存储到网格哈希表中。
5. 遍历网格哈希表，找到所有满足条件的点。

代码实现

下面是 Python 实现代码片段，返回值是列表：

def check_points_within_distance(points, k):
    x_min = min(x[0] for x in points)
    x_max = max(x[0] for x in points)
    y_min = min(y[1] for y in points)
    y_max = max(y[1] for y in points)
    
    d = abs(x_max - x_min) + abs(y_max - y_min)
    s = k / d
    
    p_hash = {p: True for p in points}
    g_hash = {}
    
    for x in range(x_min, x_max + 1):
        for y in range(y_min, y_max + 1):
            g_center = (x + 0.5, y + 0.5)
            if all(abs(g_center[0] - px) + abs(g_center[1] - py) <= k for px, py in points):
                g_hash[g_center] = True
                
    return list(g_hash.keys())

代码中首先找到 N 个点的最小包围矩形，计算出矩形对角线长度 D，并将矩形分割成若干个网格。然后遍历 N 个给定点，将每个点加入到点哈希表中。接着遍历所有网格，计算每个网格的中心点坐标和包含的点，将其存储到网格哈希表中。最后遍历网格哈希表，找到所有满足条件的点，即距离 N 个给定点的曼哈顿距离都不超过 K 的点，并将其返回。