检查平面中是否存在任何点，其曼哈顿距离与 N 个给定点的距离至多为 K

介绍

在计算几何中，曼哈顿距离是指在一个方格图上，从一个点到另一个点在横向和纵向的距离之和。现在给定N个点，我们需要检查平面中是否存在任何点，其曼哈顿距离与N个给定点的距离至多为K。这是一个经典的问题，也被称为k-center问题，使用广泛。

解决方法

这个问题可以使用一些高效的算法来解决。其中最常用的算法是二分答案算法和贪心算法。

二分答案算法

二分答案算法是解决这个问题的最常用的方法之一。这个算法的基本思路是，在一个给定的曼哈顿距离，我们可以使用贪心算法找到是否存在至少一个点，距离所有其他N-1个点至多为这个距离。我们将这个距离由小到大进行二分查找，直到找到最小的距离，使得平面中存在这样的点。

代码片段:

def check(mid, a):
    idx = 0
    for i in range(N):
        if abs(a[i][0] - a[idx][0]) + abs(a[i][1] - a[idx][1]) > mid:
            idx = i
    return abs(a[N-1][0] - a[idx][0]) + abs(a[N-1][1] - a[idx][1]) <= mid

def solve(a):
    l, r, res = 0, 1000000, -1
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2
        if check(mid, a):
            res = mid
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1
    return res

贪心算法

贪心算法是另一个常用的方法，它的基本思路是，一开始确定一个点，然后寻找离这个点最远的点，将这个点作为第二个点，再寻找距离这两个点最远的点，将这个点作为第三个点……以此类推。当找到N个点以后，这些点的中点就是我们要求的点。

代码片段:

def solve(a):
    cx, cy, res = 0, 0, -1
    for i in range(N):
        cx += a[i][0]
        cy += a[i][1]
    cx //= N
    cy //= N
    for i in range(N):
        res = max(res, abs(a[i][0] - cx) + abs(a[i][1] - cy))
    return res

总结

无论采用哪种算法来解决这个问题，我们都需要先将问题形式化表示出来，并对数据做出适当的处理，来得到合适的算法和数据结构。这并不是一件容易的事情，但是通过学习和练习，我们可以逐渐掌握这些技能，解决更加复杂和有趣的计算几何问题。