K 应添加到任何元素以对给定数组进行排序的最少次数

给定一个整数数组 nums，通过向某些元素添加 K，使得数组按升序排列。求出添加的 K 的最小值。

解题思路

我们可以先判断数组是否有序，如果数组已经有序，那么只需要添加一次 K 就可以了，因为此时添加任何元素都会破坏数组的有序性。

如果数组不是有序的，那么我们可以贪心地认为，只需要对第一个逆序对进行操作，就可以让整个数组变得有序。因为逆序对是导致数组无序的根本原因。

所以我们可以遍历数组，找到第一个逆序对，然后计算需要添加的 K 的值，即为逆序对中的后一个数字减去前一个数字。然后再判断添加 K 后数组是否有序，如果有序就结束算法，否则继续执行上述步骤。

代码实现

def min_k_to_sort_array(nums) -> int:
    if sorted(nums) == nums:
        return 0

    k = 0
    while True:
        for i in range(len(nums)-1):
            if nums[i] > nums[i+1]:
                k = max(k, nums[i] - nums[i+1] + 1)
                nums[i+1] = nums[i] + 1
        if sorted(nums) == nums:
            break
    return k

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为需要遍历多个逆序对，每个逆序对的长度可能达到 n。但是在实际使用中，由于有序的情况下会提前终止算法，所以时间复杂度实际上会远远小于 $O(n^2)$。空间复杂度为 $O(1)$，因为只需要使用常量级的额外空间。