门|门模拟 2017 |问题 25

题目描述

在一条直线上有 $n$ 个门，从左到右依次编号为 $1\sim n$。其中某些门上挂了锁，有些门能通过，有些门不能通过，每个门有一个开锁的权值 $w_i$。

你的任务是把能够通过的门全部打开。开始，所有门都是关着的。每次可以花费 $a$ 点能量打开一个门，也可以花费 $b$ 点能量换咒释放掉相邻两个门上的所有锁。经过释放咒的相邻两个门可以直接通过，释放咒后 doOrDie 咒会使得路径上最小长度锁值出现 $m$ 次，从而打开不能通过的门。

请计算在最小花费下，能够把门全部打开的方法。

输入格式

第一行，五个整型变量，分别为 $n$、$m$、$a$、$b$、$s$。

接下来一行 $n$ 个整数，分别为 $w_1$ 到 $w_n$。

输出格式

输出打开所有门的最小花费。

数据范围

对于 $50%$ 的数据，$n\leq 200$ 。

对于 $100 %$ 的数据，$1\leq n\leq 3000,1\leq m,w_i\leq 100,1\leq a,b,s\leq 100$

输入样例1

10 2 2 1 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

输出样例1

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题目分析

这是一道动态规划问题。首先定义一个状态，$f(i,j)$ 表示前 $i$ 个门已经全部开着，其中最小值为 $j$ 的最小花费，这里最小值是指不通过任何一个 $j$ 值出其他的开启门，这里的 $j$ 只是作为一个标识符，代表最小值。

对于 $f(i,j)$，它要么由 $f(i-1,k)$ 转移过来，要么对于不能开启的门（即 $w_i < j$ 的门）需要使用咒语。所以，我们有以下状态转移方程：

$$ f(i,j)=min(f(i-1,k)+a\times Min(i,k+1,j)+b,\quad 1\leq k\leq n, w_i\geq j) $$

其中，$Min(i,j,k)$ 表示 $[i,j]$ 中的最小值出现了恰好 $k$ 次，同时满足 $0\leq k\leq w_i$ 和 $0\leq k\leq j-i$（即不能把 $[i, j]$ 空间填满）。这里的 $Min(i, k+1, j)$ 就是用以释放相邻两个门的咒语，其返回值就是能够打开被锁住的门所需要的最小权值。

因为本题与前一个状态有关，我们需要维护前一个状态的信息，所以状态还可以简化为$g(j)$。这里的 $g(j)$ 表示前一个状态 $f(i-1, j)$ 的最小花费。

注意，$Min(i,j,k)$ 这个函数要用到前缀和实现，否则复杂度无法承受。具体参见样例代码。

参考代码

C++ 代码