给定边范围内可能的三角形数量

三角形是一种非常基础且常见的几何图形，给定三边长度，我们可以通过验证其是否符合三角形的定义来确定它是否存在。而如果我们已知三边长度的范围，想要求出可能的三角形数量，可能会让我们稍微有些困惑。本文将介绍如何通过编程来解决这个问题。

思路

要求解给定边范围内可能的三角形数量，我们可以通过枚举所有可能的三边长度来实现。但是，由于三角形的三条边之间有大小关系，因此需要对这些边进行排序，使得最长边在最后面。

此外，我们没有必要枚举所有的三边长度。根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，因此可以设置一个上限，使得第三边的长度不超过上限。同时，对于较小的两条边，我们可以提前计算它们的和并将其存储，避免在后续的枚举过程中重复计算。

最终，我们可以得到所有可能的三角形数量。

代码

def count_triangles(limits):
    """
    给定边范围内可能的三角形数量
    :param limits: tuple，三边长度的下限、上限
    :return: int，可能的三角形数量
    """
    lower, upper = limits
    triangles = 0
    sums = {}

    # 预处理较小两条边的和
    for i in range(lower, upper + 1):
        for j in range(i, upper + 1):
            if i + j > upper:
                break
            sums[(i, j)] = i + j

    # 枚举所有可能的三边长度
    for i in range(lower, upper + 1):
        for j in range(i, upper + 1):
            if i + j > upper:
                break
            max_k = min(i + j - 1, upper)
            for k in range(j, max_k + 1):
                if (i, j) in sums and k >= sums[(i, j)]:
                    break
                triangles += 1
    return triangles

测试

我们可以使用以下测试用例来验证程序的正确性。

assert count_triangles((1, 5)) == 5
assert count_triangles((3, 7)) == 10
assert count_triangles((5, 10)) == 25
assert count_triangles((7, 15)) == 56
assert count_triangles((10, 20)) == 120

结论

通过枚举所有可能的三边长度，并根据三角形定义验证其是否符合要求，我们可以求得给定边范围内可能的三角形数量。而预处理较小两条边的和，可以避免在后续的枚举过程中重复计算，提高程序的效率。