计算点对之间的距离等于 K 维空间中的整数值

在计算几何和数据挖掘领域，经常需要计算多维空间中两点之间的距离。如果要求的距离为整数值，该如何求解呢？

方法一：暴力计算

最直接的方法就是暴力计算每个点对之间的距离，然后判断是否等于目标距离。该方法时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示点的数量。

代码示例：

import math

def distance(p1, p2):
    """
    计算两个点之间的欧氏距离
    """
    return math.sqrt(sum([(a-b)**2 for a,b in zip(p1,p2)]))

def find_pairs(points, k):
    """
    计算点对之间的距离等于 k 的点对
    """
    res = []
    n = len(points)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            dist = distance(points[i], points[j])
            if dist == k:
                res.append((i, j))
    return res

方法二：哈希表

由于暴力计算的时间复杂度较高，我们可以尝试使用哈希表来优化算法。具体做法是，将每个点的坐标哈希成一个整数，然后将哈希值作为键，点的下标作为值保存到哈希表中。然后遍历所有点对，计算它们之间的距离，并维护一个指向哈希表的指针，查找距离合适的点是否存在。

代码示例：

def hash_point(point):
    """
    将一个点哈希成一个整数
    """
    return sum([x*31**i for i,x in enumerate(point)])

def find_pairs(points, k):
    """
    计算点对之间的距离等于 k 的点对
    """
    res = []
    table = {}
    for i,p in enumerate(points):
        h = hash_point(p)
        table[h] = i
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            dist = distance(points[i], points[j])
            if dist == k:
                if hash_point(points[i]) in table and hash_point(points[j]) in table:
                    res.append((table[hash_point(points[i])], table[hash_point(points[j])]))
    return res

方法三：KD-Tree

如果点的数量较大，哈希表可能会耗尽内存。此时可以使用 KD-Tree 数据结构来优化算法。KD-Tree 是一种二叉搜索树，能够高效地支持空间分割和范围搜索。

首先，我们需要构建一个 KD-Tree，将所有点插入到 KD-Tree 中。然后，我们对 KD-Tree 进行深度优先遍历，对于每个节点，我们都计算它的子树中所有点与目标点之间的距离，并寻找距离等于目标距离的点对。

代码示例：

class KDNode:
    def __init__(self, point=None):
        self.point = point
        self.left = None
        self.right = None

def build_kdtree(points, depth=0):
    n = len(points)
    if n <= 0:
        return None
    axis = depth % k
    sorted_points = sorted(points, key=lambda point: point[axis])
    mid = n // 2
    node = KDNode(sorted_points[mid])
    node.left = build_kdtree(sorted_points[:mid], depth+1)
    node.right = build_kdtree(sorted_points[mid+1:], depth+1)
    return node

def search_kdtree(node, target, k, depth=0, result=None):
    if node is None:
        return
    if result is None:
        result = []
    distance = math.sqrt(sum([(a-b)**2 for a,b in zip(node.point, target)]))
    if distance == k:
        result.append(node.point)
    if target[depth%k] < node.point[depth%k]:
        search_kdtree(node.left, target, k, depth+1, result)
    else:
        search_kdtree(node.right, target, k, depth+1, result)
    # search the other side
    if abs(target[depth%k] - node.point[depth%k]) <= distance:
        if target[depth%k] < node.point[depth%k]:
            search_kdtree(node.right, target, k, depth+1, result)
        else:
            search_kdtree(node.left, target, k, depth+1, result)
    return result

def find_pairs(points, k):
    """
    计算点对之间的距离等于 k 的点对
    """
    res = []
    root = build_kdtree(points)
    for p in points:
        target = [p[i] + k if i == j else p[i] for i in range(k)]
        result = search_kdtree(root, target, k)
        for q in result:
            if p != q:
                res.append((points.index(p), points.index(q)))
    return res

总结

本文介绍了三种计算点对之间距离的方法，包括暴力计算、哈希表、和 KD-Tree。如果点的数量较少，可以使用暴力计算；如果点的数量较大但目标距离较小，可以使用哈希表；如果点的数量较大且目标距离较大，可以使用 KD-Tree。