计算节点之间的最小距离

当我们在树形结构中处理数据时，有时候需要计算两个节点之间的距离。在本文中，我们将会讲解如何计算节点之间的最小距离等于其与根的距离之差的节点对。

问题描述

给出一棵树，节点从1到n编号，每个节点都有一个权值。现在，我们需要找到两个节点i和j，使得它们的最小距离等于它们与根节点的距离之差。

例如，如果i和j分别位于距离根节点为5和7的位置，那么它们之间的最小距离就是2。

解题思路

对于每个节点i，我们可以计算其与根节点之间的距离d[i]。

然后，对于每对节点i和j，它们之间的最小距离就是d[i] + d[j] - 2 * d[LCA(i,j)]，其中LCA(i,j)表示i和j的最近公共祖先节点。

因此，我们只需要找到一对节点i和j，使得它们的距离等于d[i] + d[j] - 2 * d[LCA(i,j)] - (d[root] - d[LCA(i,j)])。

我们可以用一个DFS遍历树，同时记录每个节点i的d[i]。然后，对于每个节点i，我们可以枚举它的子树中的节点j，并计算它们之间的距离。如果存在一组节点i和j满足条件，那么我们就结束搜索并返回它们。

代码实现

下面是基于C++语言的代码实现，用于计算节点之间的最小距离：

const int MAXN = 100005;

vector<int> G[MAXN];
int d[MAXN];

void dfs(int u, int p) {
    d[u] = d[p] + 1;
    for (int v : G[u]) {
        if (v != p) {
            dfs(v, u);
        }
    }
}

pair<int,int> solve(int u, int p, int root) {
    pair<int,int> ans = make_pair(-1,-1);
    for (int v : G[u]) {
        if (v != p) {
            auto tmp = solve(v, u, root);
            if (tmp.first != -1) {
                if (ans.first == -1 || d[tmp.first] + d[tmp.second] - 2 * d[u] < d[ans.first] + d[ans.second] - 2 * d[u] - d[root]) {
                    ans = make_pair(tmp.first,tmp.second);
                }
            }
            if (d[tmp.first] + d[v] - 2 * d[u] == d[root] - d[u]) {
                if (ans.first == -1 || d[tmp.first] + d[v] - 2 * d[u] < d[ans.first] + d[ans.second] - 2 * d[u] - d[root]) {
                    ans = make_pair(tmp.first,v);
                }
            }
        }
    }
    return (ans.first != -1 ? ans : make_pair(u,u));
}

int main() {
    int n, root;
    cin >> n >> root;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(root,0);
    auto ans = solve(root,0,root);
    cout << ans.first << " " << ans.second << endl;
    return 0;
}

结语

本文介绍了如何计算节点之间的最小距离等于其与根的距离之差的节点对。这个问题的解法依赖于最近公共祖先(LCA)算法和深度优先搜索(DFS)算法。如果您有任何问题或建议，请在评论区留言。