Prim算法用于邻接列表表示的MST | 贪婪算法6

简介

Prim算法是一种用于求解图的最小生成树(MST)问题的贪婪算法。该算法以任意顶点为起点开始，每次选择一个距离当前生成树最近的顶点加入生成树，直到生成树包含图中所有顶点为止。

在使用邻接列表表示图时，Prim算法可以通过构建一个最小堆来维护顶点集合，更新每个顶点到生成树的距离，并在每次选择最小距离的顶点加入生成树时，更新其所有未加入生成树的邻居节点到生成树的距离。此外，在维护最小堆时，需要记录每个顶点对应的生成树中的父节点，以便于生成最终的MST。

程序示例

下面是使用Python实现Prim算法用于邻接列表表示的MST的示例代码：

from heapq import heappush, heappop


def prim_mst(adj_list):
    n = len(adj_list)
    in_mst = [False] * n  # 记录节点是否已加入生成树
    dist = [float('inf')] * n  # 记录节点到生成树的最小距离
    parent = [-1] * n  # 记录节点在生成树中的父节点
    dist[0] = 0  # 以节点0为起点开始构建生成树

    heap = [(0, 0)]  # 初始时只有节点0在生成树中

    while heap:
        _, u = heappop(heap)
        if in_mst[u]:
            continue
        in_mst[u] = True
        for v, w in adj_list[u]:
            if not in_mst[v] and w < dist[v]:
                dist[v] = w
                parent[v] = u
                heappush(heap, (w, v))

    # 生成最小生成树
    mst = [[] for _ in range(n)]
    for u, p in enumerate(parent):
        if p != -1:
            mst[p].append(u)
            mst[u].append(p)

    return mst

该代码使用了Python内置的heapq模块实现了最小堆。其中，heap列表中的元素为(dist, u)的二元组，表示顶点u到生成树的距离为dist。在每次选择加入生成树时，heap列表中的最小元素即为距离最小的顶点，可以使用heappop方法实现。在将新的节点加入生成树时，需要更新其所有未加入生成树的邻居节点到生成树的距离，即使用heappush方法将其(dist, v)的距离信息加入堆中。

生成最终的MST时，代码遍历每个节点的父节点p，将其连向其子节点u，同时将u连向其父节点即可。

总结

Prim算法是一种经典的求解MST问题的贪婪算法，其使用邻接列表表示图时，可以使用最小堆来维护待加入的顶点集合，并通过不断更新节点到生成树的距离，来选择距离最近的节点加入生成树。以上介绍的代码示例可以直接使用Python实现，具有一定的参考价值。