反转洞穴——惠勒变换

介绍

惠勒变换是一种用于图像处理和信号处理的数学算法。它的目的是将一个信号或图像从时域（时间域）转换到频域，从而方便对其进行分析和处理。在惠勒变换中，一个循环嵌套的矩阵被反转和迭代，从而产生一个新的矩阵，其中包含原始图像的频谱信息。

惠勒变换可以用于处理各种类型的信号和图像，包括音频、视频、地震数据和医学图像。它广泛应用于数字信号处理、通信和图像处理领域。

原理

惠勒变换是基于傅里叶变换的改进算法。像傅里叶变换一样，它将一个信号或图像分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而在频域中表示这个信号或图像。但惠勒变换不需要使用复数或三角函数，而是使用正交多项式来进行频域表示。

具体地说，惠勒变换是通过将一维或二维离散数据的矩阵进行反转和变换来实现的。在一维情况下，矩阵是一个向量，而在二维情况下，矩阵是一个矩阵。

在惠勒变换中，一个数据矩阵通过以下步骤进行变换：

1. 对于一维数据，对矩阵进行反转，从第一个元素到最后一个元素，依次交换位置；对于二维数据，对矩阵的每一行进行反转。
2. 应用正交多项式，如波尔顿多项式或勒让德多项式，将矩阵的每一行或每一列变换成一个多项式系数向量。
3. 对于变换后的多项式系数向量进行傅里叶变换或快速傅里叶变换（FFT），得到频域映射矩阵。
4. 应用向前差分或向后差分，对频域映射矩阵进行修正。

使用

惠勒变换可以用许多编程语言实现，包括MATLAB、Python、Java等。以下是一个Python实现的惠勒变换示例：

import numpy as np
import scipy.fftpack as fft

def wheeler_transform(data):
    # Reverse the input data
    data = np.flipud(data)
    # Apply the Bolton polynomial transform
    coeffs = np.apply_along_axis(bolton_transform, 1, data)
    # Compute the FFT of each row
    freq_domain = np.apply_along_axis(fft.fft, 1, coeffs)
    # Apply forward or backward differences
    freq_domain = freq_domain[1:] - freq_domain[:-1]
    return freq_domain

def bolton_transform(row):
    # Compute the Bolton polynomial coefficients for the input row
    N = len(row)
    coeffs = np.zeros(N)
    coeffs[0] = 1.0
    coeffs[1] = -1.0
    for k in range(2, N):
        coeffs[k] = (-1.0 / (k-1)) * np.sum([coeffs[j]*row[k-j] for j in range(1, k)])
    return coeffs

这个示例演示了如何对一个二维数据矩阵进行惠勒变换，其中使用了波尔顿多项式进行正交变换和傅里叶变换。对于每一行，首先应用波尔顿多项式进行正交变换，然后应用FFT计算每一行的频域映射。最后，应用向前或向后差分来修改频域映射。