检查给定的多边形是否是凸多边形

在计算几何中，凸多边形是指内部没有凹陷和重叠的简单多边形。检查给定的多边形是否是凸多边形可以应用在许多领域，例如计算机图形学、机器视觉和运动规划等。

定义

凸多边形的定义如下：

给定一个简单多边形，如果它内部没有凹陷，那么就称为凸多边形。凸多边形每两个顶点之间的直线段在多边形内部时不会与多边形的边缘相交，凸多边形的内角度数均小于180度。

内角度数的计算公式为：$a_i = (n-2)\times180^{\circ}/n$，其中$n$为多边形的顶点数，$a_i$为第$i$个顶点的内角度数。

算法

检查给定的多边形是否是凸多边形的算法如下：

1. 如果多边形有3个或3个以上的顶点，则继续；
2. 根据顶点数计算凸多边形的内角度数；
3. 遍历多边形的所有顶点：
   1. 获取当前顶点的前一个顶点和后一个顶点；
   2. 根据当前顶点、前一个顶点和后一个顶点计算该顶点的外角度数；
   3. 如果该顶点的外角度数大于等于180度或小于等于0度，则该多边形不是凸多边形；
4. 如果所有顶点的外角度数均小于180度且大于0度，则该多边形是凸多边形。

计算外角度数的公式为：$\theta_i = \angle P_{i+1}P_iP_{i-1} = \cos^{-1}(\vec{P_{i+1}P_i}\cdot\vec{P_{i-1}P_i})$，其中$P_{i+1}$、$P_{i-1}$和$P_i$分别为多边形的相邻3个顶点，$\theta_i$为$i$号顶点的外角度数。

代码实现

以下是Python代码实现：

import math

def is_convex_polygon(points):
    """
    检查给定的多边形是否是凸多边形
    :param points: 多边形的顶点列表，顶点按顺序排列
    :return: True表示是凸多边形，False表示不是凸多边形
    """
    n = len(points)  # 多边形的顶点数
    if n < 3:
        return False

    # 计算凸多边形的内角度数
    a_i = (n - 2) * 180 / n

    # 遍历多边形的所有顶点
    for i in range(n):
        # 获取当前顶点的前一个顶点和后一个顶点
        prev_p = points[i - 1]
        curr_p = points[i]
        next_p = points[(i + 1) % n]

        # 根据当前顶点、前一个顶点和后一个顶点计算该顶点的外角度数
        prev_vec = (curr_p[0]-prev_p[0], curr_p[1]-prev_p[1])
        next_vec = (next_p[0]-curr_p[0], next_p[1]-curr_p[1])
        cos_theta = prev_vec[0]*next_vec[0] + prev_vec[1]*next_vec[1]  # cos(theta_i)
        theta_i = math.acos(cos_theta) * 180 / math.pi

        # 如果该顶点的外角度数大于等于180度或小于等于0度，则该多边形不是凸多边形
        if theta_i >= 180 or theta_i <= 0:
            return False

    # 如果所有顶点的外角度数均小于180度且大于0度，则该多边形是凸多边形
    return True

以上代码实现了检查给定的多边形是否是凸多边形的函数is_convex_polygon。该函数接受一个顶点列表points作为输入参数，该列表中存储了多边形的所有顶点。

函数首先计算了多边形的内角度数，然后遍历了多边形的所有顶点。对于每个顶点，都计算了该顶点的外角度数，如果外角度数大于等于180度或小于等于0度，则该多边形不是凸多边形。最后，如果所有顶点的外角度数均小于180度且大于0度，则该多边形是凸多边形。

总结

本文介绍了检查给定的多边形是否是凸多边形的算法和代码实现。该算法的时间复杂度为$O(n)$，其中$n$为多边形的顶点数。在实际应用中，可将该算法用于处理多边形的形状分析、区域识别等相关问题。