数据结构 | 图 | 问题 6

简介

在计算机科学中，图（Graph）是一种用于表示和处理多对多关系的非线性数据结构。图由节点（Vertex）和边（Edge）组成，节点表示实体，边表示节点之间的关系。图是一种十分强大和灵活的数据结构，广泛应用于网络、社交网络分析、路线规划、最短路径算法等领域。

问题 6 是图中的一个常见问题，即如何判断一个图是否是有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称 DAG）。有向无环图是一个无环的有向图，其中任意两个节点之间没有循环路径。判断一个图是否是 DAG 是计算机科学中一个重要的问题，因为 DAG 具有很多有用的性质和应用，如拓扑排序、动态规划等。

解决方法

判断一个图是否是 DAG 可以使用拓扑排序算法。拓扑排序是一种对有向无环图的节点进行线性排序的算法，可以通过对图中的节点进行拓扑排序，判断图是否是 DAG。以下是一种常见的拓扑排序算法的实现：

1. 初始化一个队列 Q，并将图中的所有入度为 0 的节点加入队列 Q。
2. 初始化一个空数组 result 用于存储拓扑排序的结果。
3. 当队列 Q 不为空时，执行以下步骤：
     1. 从队列 Q 中取出一个节点 u。
     2. 将节点 u 添加到结果数组 result 中。
     3. 对 u 的所有邻接节点 v 执行以下操作：
          1. 将节点 v 的入度减 1。
          2. 如果节点 v 的入度变为 0，则将节点 v 加入队列 Q。
4. 如果 result 数组中的节点个数等于图中的节点个数，则图是 DAG，否则图不是 DAG。

示例代码

const isDAG = (graph) => {
  const indegrees = new Array(graph.length).fill(0);
  const queue = [];
  const result = [];

  // 计算所有节点的入度
  for (let i = 0; i < graph.length; i++) {
    for (let j = 0; j < graph[i].length; j++) {
      indegrees[graph[i][j]]++;
    }
  }

  // 将入度为 0 的节点加入队列
  for (let i = 0; i < indegrees.length; i++) {
    if (indegrees[i] === 0) {
      queue.push(i);
    }
  }

  // 拓扑排序
  while (queue.length > 0) {
    const node = queue.shift();
    result.push(node);

    for (let i = 0; i < graph[node].length; i++) {
      const neighbor = graph[node][i];
      indegrees[neighbor]--;

      if (indegrees[neighbor] === 0) {
        queue.push(neighbor);
      }
    }
  }

  return result.length === graph.length;
};

// 使用示例
const graph = [[1, 2], [3, 4], [5], [], [], []];
const isDAG = isDAG(graph);
console.log(isDAG);

总结

在计算机科学中，判断一个图是否是有向无环图是一个重要的问题。可以使用拓扑排序算法来判断图是否是 DAG。以上是一种常见的拓扑排序算法的实现，通过计算节点的入度和拓扑排序的过程，可以判断一个图是否是 DAG。在实际应用中，了解和掌握图的相关知识和算法，可以帮助程序员更好地解决图相关的问题。