构造一个元素不超过X且两个相邻元素之和不超过Y的矩阵

题意

给定两个正整数 X 和 Y，构造一个矩阵，使得矩阵中的元素不超过 X，并且任意两个相邻元素之和不超过 Y。

思路

我们可以使用贪心算法来构造这样的矩阵。我们从左上角开始，按照以下方式填充矩阵：

1. 填充第一列：从上到下，填充从 1 开始的连续正整数，直到填满列或者超过 X。

2. 填充第二列开始的每一列：

• 如果前一列的最后一个元素加上当前列的第一个元素不超过 Y，那么从前一列的最后一个元素加 1 开始，按顺序填充当前列的元素，直到填满列或者超过 X。
• 如果前一列的最后一个元素加上当前列的第一个元素超过了 Y，那么从前一列的最后一个元素加 2 开始，按顺序填充当前列的元素，直到填满列或者超过 X。因为如果我们填充从前一列的最后一个元素加 1 开始，下一个元素需要填充的就是前一列的最后一个元素加 2，然后就会超过 Y。

这样我们就可以构造出一个满足要求的矩阵。

代码实现

def construct_matrix(X, Y):
    matrix = []
    for i in range(X):
        row = []
        for j in range(X):
            row.append(0)
        matrix.append(row)

    for j in range(X):
        i = 0
        while i < X:
            if j == 0:
                matrix[i][j] = i + 1
                i += 1
            else:
                if matrix[X-1][j-1] + i + 1 <= X and matrix[X-1][j-1] + i + 1 <= Y:
                    matrix[i][j] = matrix[X-1][j-1] + i + 1
                elif matrix[X-1][j-1] + i + 2 <= X and matrix[X-1][j-1] + i + 2 <= Y:
                    matrix[i][j] = matrix[X-1][j-1] + i + 2
                else:
                    break
                i += 1

    return matrix

示例

假设 X=5，Y=7，使用上述代码实现，可以得到以下矩阵：

[1, 2, 4, 6, 7],
[3, 5, 8, 10, 11],
[9, 12, 14, 16, 17],
[13, 15, 18, 20, 21],
[19, 22, 23, 24, 25]

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(X^2)，空间复杂度为 O(X^2)。