DAA-最佳成本二元搜索树

什么是二元搜索树

二元搜索树又称为二叉搜索树，它是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，左子节点的值小于它的根节点的值，右子节点的值大于等于它的值。这种结构使得二叉搜索树可以快速地进行插入、删除和查找操作。

什么是最佳成本二元搜索树

最佳成本二元搜索树又称为最优二叉搜索树，是一种二叉搜索树，其中所有节点的权值和最小。这种树结构通常被用来进行频繁的查找操作。最佳成本二元搜索树的构建过程通常使用动态规划算法来实现。

动态规划算法

假设有n个关键字K1,K2,...,Kn，以及n+1个虚拟关键字D0,D1,...,Dn，其中D0代表搜索树中不存在的元素，Di代表以Ki为根节点的子树的虚拟关键字，其概率为pi。由于每个节点最多只有两个子节点，因此我们可以令Ki的左子节点为i+1到j之间的虚拟关键字Dp，右子节点为j+1到k之间的虚拟关键字Dq。显然，i、j、k、p和q都是与Ki有关的变量。

构建动态规划表格m[i][j]，其中i<=j用于存储以Ki到Kj为节点的子树的最小权值和。m[1][n]即为所求的最佳成本二元搜索树的权值和。

动态规划的过程中，我们从小到大填充矩阵m，逐步求解规模更大的子问题。对于每个i和j（i<=j），我们枚举所有可能的根节点，找到m[i][j]的最小值。对于每个根节点Ki=(i+j)/2，我们计算左子树和右子树的最小代价，加上以Ki为根节点的代价pi。这个过程可以使用递归算法实现。

代码片段

下面的代码片段展示了如何使用动态规划算法来构建最佳成本二元搜索树。

def best_cost_binary_search_tree(keys, probabilities):
    n = len(keys)
    m = [[float("inf")] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        m[i][i] = probabilities[i]
    for s in range(n):
        for i in range(1, n - s + 1):
            j = i + s
            for k in range(i, j + 1):
                left_cost = m[i][k - 1]
                right_cost = m[k + 1][j]
                root_cost = sum(probabilities[i:j+1])
                total_cost = left_cost + right_cost + root_cost
                m[i][j] = min(m[i][j], total_cost)
    return m[1][n]

上面的代码运用了二元搜索树的基本特征，同时采用了动态规划算法的思想，用二维数组m记录了待处理数据的状态，最终输出的结果即是最佳成本二元搜索树的权值和。