具有奇偶校验相邻元素的所有子序列的计数

本文将介绍如何计算一个序列中，具有奇偶校验相邻元素的所有子序列的计数。首先，我们需要了解什么是奇偶校验相邻元素。

奇偶校验相邻元素

一个序列中的相邻元素，如果它们的值的奇偶性不同，那么它们就是奇偶校验相邻元素。例如，序列 [1, 2, 3, 4, 5, 6] 中，(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) 是奇偶校验相邻元素。

现在，我们的目标是计算一个序列中，具有奇偶校验相邻元素的所有子序列的计数，下面是一个简单的动态规划算法。

动态规划算法

我们用 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的、具有奇偶校验相邻元素的最长子序列的长度，用 count[i] 表示以第 i 个元素结尾的、具有奇偶校验相邻元素的子序列的个数。

首先，dp[0] = 1，count[0] = 1，因为只有一个元素，它既是以它自己为结尾的最长子序列，也是以它自己为结尾、具有奇偶校验相邻元素的子序列。

对于第 i 个元素，它有两种选择：

1. 把它加入到前面的子序列中，也就是说，加入的元素必须与前一个元素构成奇偶校验相邻元素。
   • 如果 i-1 对应的元素是偶数，并且 i 对应的元素是奇数，或者 i-1 对应的元素是奇数，并且 i 对应的元素是偶数，那么 i 可以加入前面的子序列中。此时，dp[i] = dp[i-1] + 1，count[i] = count[i-1]。
   • 如果 i-1 对应的元素是奇数，并且 i 对应的元素也是奇数，或者 i-1 对应的元素是偶数，并且 i 对应的元素也是偶数，那么 i 不可以加入前面的子序列中。此时，dp[i] = 1，count[i] = 1。
2. 把它作为新的子序列的开头，也就是说，它是一个长度为 1 的、具有奇偶校验相邻元素的子序列。
   • 此时，dp[i] = 1，count[i] = dp[i-1]。注意，这里使用的是 dp[i-1]，而不是 dp[i]，因为这里我们要计算的是以第 i 个元素为开头的子序列，而不是以它为结尾的子序列。

综上所述，我们有以下的动态规划转移方程：

if ((even(arr[i-1]) && odd(arr[i])) || (odd(arr[i-1]) && even(arr[i]))) {
    dp[i] = dp[i-1] + 1;
    count[i] = count[i-1];
} else {
    dp[i] = 1;
    count[i] = dp[i-1];
}

其中 even() 函数和 odd() 函数分别用来判断一个元素是偶数还是奇数。

最终，我们需要计算的结果是 count 数组中所有元素的和。

下面是完整的 Python 代码片段：

def even(x):
    return x % 2 == 0

def odd(x):
    return x % 2 == 1

def count_subsequences(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    count = [1] * n
    for i in range(1, n):
        if ((even(arr[i-1]) and odd(arr[i])) or (odd(arr[i-1]) and even(arr[i]))):
            dp[i] = dp[i-1] + 1
            count[i] = count[i-1]
        else:
            dp[i] = 1
            count[i] = dp[i-1]
    return sum(count)

性能分析

这个算法的时间复杂度是 O(n)，空间复杂度也是 O(n)。通过使用滚动数组和状态压缩，空间复杂度可以优化到 O(1)。