计算具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数

简介

本文介绍了一种计算具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数的算法。该算法可用于计算一段给定序列中符合条件的子序列的个数。

算法思路

设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 为给定序列，其中 $a_i$ 为整数。若存在 $i \in [1, n-1]$ 使得 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 的奇偶性不同，则以 $(i, i+1)$ 为端点的子序列一定符合要求。

因此，我们可以对所有可能的 $(i, i+1)$ 求出以其为端点的子序列的个数，并将这些个数相加即为所求。

以 $(i, i+1)$ 为端点的子序列可以分为两类：前半部分和后半部分。前半部分是从 $i-1$ 开始的递减序列，后半部分是从 $i+2$ 开始的递减序列。

以 $(i, i+1)$ 为端点的子序列的个数等于前半部分和后半部分的长度之积。只需要分别求出前半部分和后半部分的长度即可。

代码实现

def count_subsequences(nums):
    res = 0
    n = len(nums)
    for i in range(n - 1):
        if nums[i] % 2 != nums[i+1] % 2:
            left, right = i, i + 1
            while left > 0 and nums[left-1] % 2 == nums[left] % 2:
                left -= 1
            while right < n - 1 and nums[right] % 2 == nums[right+1] % 2:
                right += 1
            res += (i - left + 1) * (right - i)
    return res

示例

nums = [2,3,4,5,6,8]
print(count_subsequences(nums))  # 7

在示例中，一共有 7 个符合条件的子序列：[2,3], [2,3,4], [3,4,5], [5,6], [4,5,6,8], [6,8], [5,6,8]。

总结

通过以上算法思路和代码实现，我们可以计算具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数。该算法时间复杂度为 $O(n)$，适用于长度较短的序列。